Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 8 Номер 2 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с рёбрами AB=5, AD=4 и AA1=4 угол C1BC равен \(60^\circ\).
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, где A, B, C, D — точки нижней грани, а A₁, B₁, C₁, D₁ — точки верхней грани.
По условию известно: AB = 5, AD = 4, AA₁ = 4.
Нам нужно найти угол ∠C₁BC.
В прямоугольном треугольнике CBC₁:
— ∠C = 90° (так как это прямоугольный параллелепипед)
— BC = 4 (так как BC² = 16)
— CC₁ = 4 (так как CC₁² = 16)
Найдем длину гипотенузы BC₁ по теореме Пифагора:
C₁B = √(BC² + CC₁²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2
Косинус угла CBC₁ равен:
cos(∠CBC₁) = BC/BC₁ = 4/(4√2) = 1/√2 = √2/2
Отсюда ∠CBC₁ = 45°
Ответ: 45°.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, где точки A, B, C, D образуют нижнюю грань, а точки A₁, B₁, C₁, D₁ образуют верхнюю грань параллелепипеда.
По условию задачи нам даны следующие величины: AB = 5 единиц, AD = 4 единицы, AA₁ = 4 единицы. Требуется найти угол ∠C₁BC.
Начнем с анализа геометрической структуры. В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а все углы между смежными гранями равны 90°. Поэтому ребра AB, BC, CD и DA образуют прямоугольник ABCD в основании параллелепипеда.
Поскольку AB = 5 и AD = 4, то мы можем определить, что BC = AD = 4 (противоположные стороны прямоугольника равны). Аналогично, CD = AB = 5.
Ребра AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ являются боковыми ребрами параллелепипеда и перпендикулярны основанию. По условию AA₁ = 4, и поскольку в параллелепипеде противоположные грани параллельны и равны, все боковые ребра имеют одинаковую длину. Следовательно, BB₁ = CC₁ = DD₁ = AA₁ = 4.
Теперь рассмотрим треугольник CBC₁. Этот треугольник является прямоугольным, так как угол C равен 90° (это следует из свойств прямоугольного параллелепипеда). В этом треугольнике:
— BC = 4 (как мы определили ранее)
— CC₁ = 4 (боковое ребро параллелепипеда)
— Угол C = 90°
Для нахождения угла ∠C₁BC применим тригонометрические соотношения. Но сначала найдем длину гипотенузы BC₁ по теореме Пифагора:
BC₁² = BC² + CC₁² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32
Следовательно, BC₁ = √32 = 4√2.
Теперь можем найти косинус угла ∠C₁BC:
cos(∠C₁BC) = BC/BC₁ = 4/(4√2) = 1/√2
Для упрощения выражения 1/√2 умножим числитель и знаменатель на √2:
cos(∠C₁BC) = 1/√2 · √2/√2 = √2/2
Зная, что cos(45°) = √2/2, можем заключить, что угол ∠C₁BC = 45°.
Таким образом, искомый угол ∠C₁BC равен 45 градусов.
Ответ: 45°.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.