ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 6 Номер 25 Атанасян — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Решение:
1) В треугольнике ΔABC: \(AH \perp AB\), \(AH = \frac{1}{2}AB = 3\); \(\angle ACH = \angle BCH = \frac{1}{2}\angle ACB\)
2) В прямоугольном ΔACH: \(\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5} = 0,6\)
3) В прямоугольном ΔOAH: \(\tan^2 \angle OAH = \frac{1 — \cos A}{1 + \cos A} = \frac{1 — 0,6}{1 + 0,6} = \frac{0,4}{1,6} = 0,25\); \(\tan \angle OAH = \frac{OH}{AH} = \frac{0,5}{3} = 0,5\); \(OH = 1,5\)

Ответ: 1,5.

Решение:

1) В треугольнике ΔABC:
— Согласно условию, \(AB = 6\), \(AC = 5\), \(BC = 5\)
— Проведем высоту \(AH\) из вершины \(A\) на сторону \(BC\)
— Из подобия треугольников \(ΔABC\) и \(ΔABH\) следует, что \(AH = \frac{1}{2}AB = 3\)
— Углы \(\angle ACH\) и \(\angle BCH\) являются вертикальными и равны \(\frac{1}{2}\angle ACB\)

2) В прямоугольном треугольнике ΔACH:
— Используя соотношение сторон в прямоугольном треугольнике, находим \(\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5} = 0,6\)

3) В прямоугольном треугольнике ΔOAH:
— Используя формулу \(\tan^2 \theta = \frac{1 — \cos \theta}{1 + \cos \theta}\), находим \(\tan^2 \angle OAH = \frac{1 — 0,6}{1 + 0,6} = \frac{0,4}{1,6} = 0,25\)
— Следовательно, \(\tan \angle OAH = \sqrt{0,25} = 0,5\)
— Тогда \(OH = AH \cdot \tan \angle OAH = 3 \cdot 0,5 = 1,5\)

Ответ: \(r = 1,5\).