Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 6 Номер 25 Атанасян — Подробные Ответы
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
Решение:
1) В треугольнике ΔABC: \(AH \perp AB\), \(AH = \frac{1}{2}AB = 3\); \(\angle ACH = \angle BCH = \frac{1}{2}\angle ACB\)
2) В прямоугольном ΔACH: \(\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5} = 0,6\)
3) В прямоугольном ΔOAH: \(\tan^2 \angle OAH = \frac{1 — \cos A}{1 + \cos A} = \frac{1 — 0,6}{1 + 0,6} = \frac{0,4}{1,6} = 0,25\); \(\tan \angle OAH = \frac{OH}{AH} = \frac{0,5}{3} = 0,5\); \(OH = 1,5\)
Ответ: 1,5.
Решение:
1) В треугольнике ΔABC:
— Согласно условию, \(AB = 6\), \(AC = 5\), \(BC = 5\)
— Проведем высоту \(AH\) из вершины \(A\) на сторону \(BC\)
— Из подобия треугольников \(ΔABC\) и \(ΔABH\) следует, что \(AH = \frac{1}{2}AB = 3\)
— Углы \(\angle ACH\) и \(\angle BCH\) являются вертикальными и равны \(\frac{1}{2}\angle ACB\)
2) В прямоугольном треугольнике ΔACH:
— Используя соотношение сторон в прямоугольном треугольнике, находим \(\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5} = 0,6\)
3) В прямоугольном треугольнике ΔOAH:
— Используя формулу \(\tan^2 \theta = \frac{1 — \cos \theta}{1 + \cos \theta}\), находим \(\tan^2 \angle OAH = \frac{1 — 0,6}{1 + 0,6} = \frac{0,4}{1,6} = 0,25\)
— Следовательно, \(\tan \angle OAH = \sqrt{0,25} = 0,5\)
— Тогда \(OH = AH \cdot \tan \angle OAH = 3 \cdot 0,5 = 1,5\)
Ответ: \(r = 1,5\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.