Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 6 Номер 15 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Решение:
1) В прямоугольном ΔABC: \(LA + LB = 180° — LC = 90°\);
2) В треугольнике ΔAOB: \(LO = 180° — LAB — LOB\); \(LO = 180° — LA — LB = 135°\); \(LAOE = 180° — LO = 45°\).
Ответ: 45°.
Дано:
— Треугольник ΔABC, где ∠C = 90°
— BE является биссектрисой угла ∠B
— AF является биссектрисой угла ∠A
Требуется найти величину угла ∠AOE.
Решение:
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC. Согласно свойствам прямоугольного треугольника, сумма двух острых углов равна 90°. Таким образом, \(∠A + ∠B = 90°\).
2) Так как BE является биссектрисой угла ∠B, то \(∠ABE = ∠EBC\). Аналогично, так как AF является биссектрисой угла ∠A, то \(∠BAF = ∠FAC\).
3) Рассмотрим треугольник ΔAOB. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(∠AOB + ∠ABO + ∠OBA = 180°\).
4) Из пункта 1 мы знаем, что \(∠A + ∠B = 90°\), следовательно, \(∠AOB = 90° — ∠A\).
5) Так как AF является биссектрисой угла ∠A, то \(∠FAC = ∠BAF = ∠A/2\). Аналогично, \(∠EBC = ∠ABE = ∠B/2\).
6) Таким образом, \(∠ABO = ∠A/2\) и \(∠OBA = ∠B/2\).
7) Подставляя значения углов в уравнение из пункта 3, получаем: \(90° — ∠A + ∠A/2 + ∠B/2 = 180°\).
8) Упрощая, получаем: \(∠A + ∠B = 135°\).
9) Так как ∠C = 90°, то \(∠AOE = 180° — ∠A — ∠B = 180° — 135° = 45°\).
Ответ: 45°.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.