Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 3 Номер 4 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (рис. 231).
Решение:
1) В прямоугольном ΔADC: \(ZD = 90°, AD = 4, DC = 5\); \(S_{ADC} = \frac{1}{2}AD \cdot DC = 2 \cdot 5 = 10\);
2) В прямоугольном ΔAFB: \(LF = 90°, AF = 3, FB = 1\); \(S_{AFB} = \frac{1}{2}AF \cdot FB = \frac{3}{2} = 1.5\);
3) В прямоугольном ΔBEC: \(LE = 90°, EC = 4, EB = 1\); \(S_{BEC} = \frac{1}{2}BE \cdot EC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\);
4) В треугольнике ΔABC: \(S = 10 — 1.5 — 2 — 1 = 5.5\).
Ответ: 5.5 см².
В прямоугольном треугольнике ADC, где угол при вершине D равен 90°, длины катетов AD и DC равны 4 и 5 соответственно. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин его катетов. Таким образом, площадь треугольника ADC равна \( \frac{1}{2} \times AD \times DC \). Подставляя значения, получаем \( S_{ADC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \). Площадь треугольника ADC составляет 10 квадратных единиц.
В прямоугольном треугольнике AFB, где угол при вершине F равен 90°, длины катетов AF и FB равны 3 и 1 соответственно. Площадь этого прямоугольного треугольника равна половина произведения длин его катетов. Следовательно, площадь треугольника AFB равна \( \frac{1}{2} \times AF \times FB \). Подставляя значения, получаем \( S_{AFB} = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \). Площадь треугольника AFB составляет 1.5 квадратных единицы.
В прямоугольном треугольнике BEC, где угол при вершине E равен 90°, длины катетов BE и EC равны 1 и 4 соответственно. Площадь этого прямоугольного треугольника равна половина произведения длин его катетов. Таким образом, площадь треугольника BEC равна \( \frac{1}{2} \times BE \times EC \). Подставляя значения, получаем \( S_{BEC} = \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \). Площадь треугольника BEC составляет 2 квадратных единицы.
Площадь треугольника ABC находится путем вычитания площадей треугольников AFB и BEC, а также дополнительной величины, равной 1, из площади треугольника ADC. Согласно предложенному методу, площадь треугольника ABC равна \( S_{ABC} = S_{ADC} — S_{AFB} — S_{BEC} — 1 \). Подставляя вычисленные площади, получаем \( S_{ABC} = 10 — 1.5 — 2 — 1 \). Выполняя последовательное вычитание: \( 10 — 1.5 = 8.5 \), затем \( 8.5 — 2 = 6.5 \), и наконец \( 6.5 — 1 = 5.5 \). Площадь треугольника ABC составляет 5.5 квадратных единиц.
Ответ: 5.5 см².
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.