ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 3 Номер 4 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (рис. 231).

Решение:
1) В прямоугольном ΔADC: \(ZD = 90°, AD = 4, DC = 5\); \(S_{ADC} = \frac{1}{2}AD \cdot DC = 2 \cdot 5 = 10\);
2) В прямоугольном ΔAFB: \(LF = 90°, AF = 3, FB = 1\); \(S_{AFB} = \frac{1}{2}AF \cdot FB = \frac{3}{2} = 1.5\);
3) В прямоугольном ΔBEC: \(LE = 90°, EC = 4, EB = 1\); \(S_{BEC} = \frac{1}{2}BE \cdot EC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\);
4) В треугольнике ΔABC: \(S = 10 — 1.5 — 2 — 1 = 5.5\).
Ответ: 5.5 см².

В прямоугольном треугольнике ADC, где угол при вершине D равен 90°, длины катетов AD и DC равны 4 и 5 соответственно. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин его катетов. Таким образом, площадь треугольника ADC равна \( \frac{1}{2} \times AD \times DC \). Подставляя значения, получаем \( S_{ADC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \). Площадь треугольника ADC составляет 10 квадратных единиц.

В прямоугольном треугольнике AFB, где угол при вершине F равен 90°, длины катетов AF и FB равны 3 и 1 соответственно. Площадь этого прямоугольного треугольника равна половина произведения длин его катетов. Следовательно, площадь треугольника AFB равна \( \frac{1}{2} \times AF \times FB \). Подставляя значения, получаем \( S_{AFB} = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \). Площадь треугольника AFB составляет 1.5 квадратных единицы.

В прямоугольном треугольнике BEC, где угол при вершине E равен 90°, длины катетов BE и EC равны 1 и 4 соответственно. Площадь этого прямоугольного треугольника равна половина произведения длин его катетов. Таким образом, площадь треугольника BEC равна \( \frac{1}{2} \times BE \times EC \). Подставляя значения, получаем \( S_{BEC} = \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \). Площадь треугольника BEC составляет 2 квадратных единицы.

Площадь треугольника ABC находится путем вычитания площадей треугольников AFB и BEC, а также дополнительной величины, равной 1, из площади треугольника ADC. Согласно предложенному методу, площадь треугольника ABC равна \( S_{ABC} = S_{ADC} — S_{AFB} — S_{BEC} — 1 \). Подставляя вычисленные площади, получаем \( S_{ABC} = 10 — 1.5 — 2 — 1 \). Выполняя последовательное вычитание: \( 10 — 1.5 = 8.5 \), затем \( 8.5 — 2 = 6.5 \), и наконец \( 6.5 — 1 = 5.5 \). Площадь треугольника ABC составляет 5.5 квадратных единиц.

Ответ: 5.5 см².