ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 3 Номер 33 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 1), (4; 3) и (4; 5).

В треугольнике ABC с координатами вершин A(1, 1), B(4, 3) и C(4, 5) длины сторон равны: \(BC = \sqrt{(4 — 4)^2 + (5 — 3)^2} = 2\), \(AC = \sqrt{(4 — 1)^2 + (5 — 1)^2} = 5\) и \(AB = \sqrt{(4 — 1)^2 + (3 — 1)^2} = \sqrt{13}\). Полупериметр \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{2 + 5 + \sqrt{13}}{2} = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\). Площадь треугольника по формуле Герона равна \(S_{ABC} = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)} = \sqrt{\frac{49 — 13}{4}} = 3\).

Решение задачи:

В треугольнике ABC даны координаты вершин: A(1, 1), B(4, 3) и C(4, 5). Требуется найти площадь треугольника SABC.

Для решения задачи необходимо:
1. Найти длины сторон треугольника ABC.
2. Вычислить полупериметр треугольника.
3. Рассчитать площадь треугольника по формуле Герона.

Шаг 1. Нахождение длин сторон треугольника ABC.
Длина стороны BC:
\(BC = \sqrt{(4 — 4)^2 + (5 — 3)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2\)

Длина стороны AC:
\(AC = \sqrt{(4 — 1)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)

Длина стороны AB:
\(AB = \sqrt{(4 — 1)^2 + (3 — 1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)

Шаг 2. Вычисление полупериметра треугольника.
Полупериметр \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{2 + 5 + \sqrt{13}}{2} = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\)

Шаг 3. Расчет площади треугольника по формуле Герона.
\(S_{ABC} = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)} = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} \cdot \left(\frac{7 + \sqrt{13}}{2} — 2\right) \cdot}\)
\(\cdot\sqrt{ \left(\frac{7 + \sqrt{13}}{2} — 5\right) \cdot \left(\frac{7 + \sqrt{13}}{2} — \sqrt{13}\right)}\)
\(S_{ABC} = \sqrt{\frac{49 — 13}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = 3\)

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 3 кв. единицам.