ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 8 Атанасян — Подробные Ответы

Углы А и С треугольника АВС равны 45° и 60°. Отрезки АМ, BN и СК — высоты треугольника. Найдите отношение \(\frac{MN}{KN}\).

Решение:
1) Для вписанной окружности: \(\angle MON = 180° — \frac{1}{2}(180° — \angle MKN)\)
2) В треугольнике ΔABC: \(\angle C = 90° — \frac{1}{2}\angle K\), \(\angle K = 2(90° — \angle C)\), \(\angle A = 90° — \frac{1}{2}\angle M\), \(\angle M = 2(90° — \angle A)\), \(\angle K = 2 \cdot 30° = 60°\), \(\angle M = 2 \cdot 45° = 90°\), \(\angle N = 180° — \angle MKN — \angle KMN = 30°\)
3) В прямоугольном ΔMNK: \(\frac{MN}{KN} = \cos \angle N = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Дано: треугольник ABC с заданными углами и сторонами.

Решение:

1) Найдем угол MON для вписанной окружности треугольника ABC.
Угол вписанной окружности MON равен 180° минус половина разности углов A и KN.
\(\angle MON = 180° — \frac{1}{2}(\angle A — \angle KN)\)

2) Найдем угол C в треугольнике ABC.
Угол C равен 90° минус половина угла K.
\(\angle C = 90° — \frac{1}{2}\angle K\)

3) Найдем угол K в треугольнике ABC.
Угол K равен 2 умноженное на разность 90° и угла C.
\(\angle K = 2(90° — \angle C)\)

4) Найдем угол A в треугольнике ABC.
Угол A равен 90° минус половина угла M.
\(\angle A = 90° — \frac{1}{2}\angle M\)

5) Найдем угол M в треугольнике ABC.
Угол M равен 2 умноженное на разность 90° и угла A.
\(\angle M = 2(90° — \angle A)\)

6) Угол K равен 2 умноженное на 30°, то есть 60°.
\(\angle K = 2 \cdot 30° = 60°\)

7) Угол M равен 2 умноженное на 45°, то есть 90°.
\(\angle M = 2 \cdot 45° = 90°\)

8) Угол N равен 180° минус угол MKN минус угол KMN, то есть 30°.
\(\angle N = 180° — \angle MKN — \angle KMN = 30°\)

9) В прямоугольном треугольнике MNK, отношение MN/KN равно косинусу угла N, который равен косинусу 30°, то есть \(\sqrt{3}/2\).
\(\frac{MN}{KN} = \cos \angle N = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)