Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 8 Атанасян — Подробные Ответы
Углы А и С треугольника АВС равны 45° и 60°. Отрезки АМ, BN и СК — высоты треугольника. Найдите отношение \(\frac{MN}{KN}\).
Решение:
1) Для вписанной окружности: \(\angle MON = 180° — \frac{1}{2}(180° — \angle MKN)\)
2) В треугольнике ΔABC: \(\angle C = 90° — \frac{1}{2}\angle K\), \(\angle K = 2(90° — \angle C)\), \(\angle A = 90° — \frac{1}{2}\angle M\), \(\angle M = 2(90° — \angle A)\), \(\angle K = 2 \cdot 30° = 60°\), \(\angle M = 2 \cdot 45° = 90°\), \(\angle N = 180° — \angle MKN — \angle KMN = 30°\)
3) В прямоугольном ΔMNK: \(\frac{MN}{KN} = \cos \angle N = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Дано: треугольник ABC с заданными углами и сторонами.
Решение:
1) Найдем угол MON для вписанной окружности треугольника ABC.
Угол вписанной окружности MON равен 180° минус половина разности углов A и KN.
\(\angle MON = 180° — \frac{1}{2}(\angle A — \angle KN)\)
2) Найдем угол C в треугольнике ABC.
Угол C равен 90° минус половина угла K.
\(\angle C = 90° — \frac{1}{2}\angle K\)
3) Найдем угол K в треугольнике ABC.
Угол K равен 2 умноженное на разность 90° и угла C.
\(\angle K = 2(90° — \angle C)\)
4) Найдем угол A в треугольнике ABC.
Угол A равен 90° минус половина угла M.
\(\angle A = 90° — \frac{1}{2}\angle M\)
5) Найдем угол M в треугольнике ABC.
Угол M равен 2 умноженное на разность 90° и угла A.
\(\angle M = 2(90° — \angle A)\)
6) Угол K равен 2 умноженное на 30°, то есть 60°.
\(\angle K = 2 \cdot 30° = 60°\)
7) Угол M равен 2 умноженное на 45°, то есть 90°.
\(\angle M = 2 \cdot 45° = 90°\)
8) Угол N равен 180° минус угол MKN минус угол KMN, то есть 30°.
\(\angle N = 180° — \angle MKN — \angle KMN = 30°\)
9) В прямоугольном треугольнике MNK, отношение MN/KN равно косинусу угла N, который равен косинусу 30°, то есть \(\sqrt{3}/2\).
\(\frac{MN}{KN} = \cos \angle N = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.