ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 7 Атанасян — Подробные Ответы

Точки А1, B1 и C1 — основания высот треугольника АВС. Углы треугольника A1B1C1 равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника АВС.

Ответ:
45°; 60°; 75° и 15°; 30°; 135°;
15°; 45°; 120° и 45°; 30°; 105°.

Решение:
1) Для вписанной окружности:
\(\angle B_1 O C_1 = 180^{\circ} — \frac{\angle B_1 A_1 C_1}{2} = 180^{\circ} — 90^{\circ} + \frac{\angle B_1 A_1 C_1}{2}\)
\(\angle B_1 O C_1 = 90^{\circ} + \frac{\angle A_1}{2}\)
2) В треугольнике ∆ABC:
\(\angle A = 90^{\circ} — \frac{\angle A_1}{2} = 90^{\circ} — 45^{\circ} = 45^{\circ}\)
\(\angle B = 90^{\circ} — \frac{\angle B_1}{2} = 90^{\circ} — 30^{\circ} = 60^{\circ}\)
\(\angle C = 90^{\circ} — \frac{\angle C_1}{2} = 90^{\circ} — 15^{\circ} = 75^{\circ}\)
3) Треугольники подобны:
\(\angle BCA = \angle CB_1 A, \angle BAC = \angle CAB_1\)
\(\frac{\Delta BAC_1}{\Delta CAB_1} = \frac{BA}{CA} = \frac{C_1 A}{B_1 A}\)
\(\angle BAC = \angle B_1 AC_1, \angle BAC = \angle AB_1 AC_1\)
\(\angle B = \frac{\angle B_1}{2} = 15^{\circ}, \angle C = \frac{\angle B_1}{2} = 30^{\circ}\)
\(\angle A = 180^{\circ} — \angle B — \angle C = 135^{\circ}\)
4) Аналогично находим:
\(\angle A = \frac{\angle C_1}{2} = 15^{\circ}, \angle C = \frac{\angle A_1}{2} = 45^{\circ}\)
\(\angle B = 180^{\circ} — \angle BAC — \angle ACB = 120^{\circ}\)
\(\angle B = \frac{\angle A_1}{2} = 45^{\circ}, \angle A = \frac{\angle B_1}{2} = 30^{\circ}\)
\(\angle C = 180^{\circ} — \angle ABC — \angle BAC = 105^{\circ}\)

Решение:

Дано: треугольник ∆ABC с вершинами A, B, C, где ∠A1 = 90°, ∠B1 = 60°, ∠C1 = 30°.

Шаг 1: Найдем угол ∠B10C1 вписанной окружности.
Согласно свойству вписанного угла, ∠B10C1 = 180° — ∠B1A1C1/2
\(\angle B_1 O C_1 = 180^{\circ} — \frac{\angle B_1 A_1 C_1}{2}\)

Шаг 2: Упростим выражение для ∠B10C1.
∠B1A1C1 = 180° — (∠A1 + ∠B1 + ∠C1) = 180° — (90° + 60° + 30°) = 0°
Следовательно, ∠B10C1 = 180° — 0°/2 = 180°

Шаг 3: Найдем угол ∠B10C1 другим способом.
Согласно свойству вписанного угла, ∠B10C1 = 90° + ∠A1/2
\(\angle B_1 O C_1 = 90^{\circ} + \frac{\angle A_1}{2}\)

Шаг 4: Приравняем два выражения для ∠B10C1.
180° = 90° + ∠A1/2
∠A1/2 = 90°
∠A1 = 180°

Шаг 5: Найдем остальные углы треугольника ∆ABC.
∠A = 90° — ∠A1/2 = 90° — 45° = 45°
∠B = 90° — ∠B1/2 = 90° — 30° = 60°
∠C = 90° — ∠C1/2 = 90° — 15° = 75°

Шаг 6: Найдем отношение сторон треугольников ∆ABC и ∆CB1A.
∠BCA = ∠CB1A
∠BAC = ∠CAB1
\(\frac{\Delta BAC_1}{\Delta CAB_1} = \frac{BA}{CA} = \frac{C_1 A}{B_1 A}\)

Шаг 7: Найдем углы ∠B, ∠C и ∠A.
∠B = ∠B1/2 = 15°
∠C = ∠B1/2 = 30°
∠A = 180° — ∠B — ∠C = 135°

Шаг 8: Найдем углы ∠A, ∠C и ∠B.
∠A = ∠C1/2 = 15°
∠C = ∠A1/2 = 45°
∠B = 180° — ∠BAC — ∠ACB = 120°

Шаг 9: Найдем углы ∠B, ∠A и ∠C.
∠B = ∠A1/2 = 45°
∠A = ∠B1/2 = 30°
∠C = 180° — ∠ABC — ∠BAC = 105°

Ответ: 45°; 60°; 75° и 15°; 30°; 135°; 15°; 45°; 120° и 45°; 30°; 105°.