Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 7 Атанасян — Подробные Ответы
Точки А1, B1 и C1 — основания высот треугольника АВС. Углы треугольника A1B1C1 равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника АВС.
Ответ:
45°; 60°; 75° и 15°; 30°; 135°;
15°; 45°; 120° и 45°; 30°; 105°.
Решение:
1) Для вписанной окружности:
\(\angle B_1 O C_1 = 180^{\circ} — \frac{\angle B_1 A_1 C_1}{2} = 180^{\circ} — 90^{\circ} + \frac{\angle B_1 A_1 C_1}{2}\)
\(\angle B_1 O C_1 = 90^{\circ} + \frac{\angle A_1}{2}\)
2) В треугольнике ∆ABC:
\(\angle A = 90^{\circ} — \frac{\angle A_1}{2} = 90^{\circ} — 45^{\circ} = 45^{\circ}\)
\(\angle B = 90^{\circ} — \frac{\angle B_1}{2} = 90^{\circ} — 30^{\circ} = 60^{\circ}\)
\(\angle C = 90^{\circ} — \frac{\angle C_1}{2} = 90^{\circ} — 15^{\circ} = 75^{\circ}\)
3) Треугольники подобны:
\(\angle BCA = \angle CB_1 A, \angle BAC = \angle CAB_1\)
\(\frac{\Delta BAC_1}{\Delta CAB_1} = \frac{BA}{CA} = \frac{C_1 A}{B_1 A}\)
\(\angle BAC = \angle B_1 AC_1, \angle BAC = \angle AB_1 AC_1\)
\(\angle B = \frac{\angle B_1}{2} = 15^{\circ}, \angle C = \frac{\angle B_1}{2} = 30^{\circ}\)
\(\angle A = 180^{\circ} — \angle B — \angle C = 135^{\circ}\)
4) Аналогично находим:
\(\angle A = \frac{\angle C_1}{2} = 15^{\circ}, \angle C = \frac{\angle A_1}{2} = 45^{\circ}\)
\(\angle B = 180^{\circ} — \angle BAC — \angle ACB = 120^{\circ}\)
\(\angle B = \frac{\angle A_1}{2} = 45^{\circ}, \angle A = \frac{\angle B_1}{2} = 30^{\circ}\)
\(\angle C = 180^{\circ} — \angle ABC — \angle BAC = 105^{\circ}\)
Решение:
Дано: треугольник ∆ABC с вершинами A, B, C, где ∠A1 = 90°, ∠B1 = 60°, ∠C1 = 30°.
Шаг 1: Найдем угол ∠B10C1 вписанной окружности.
Согласно свойству вписанного угла, ∠B10C1 = 180° — ∠B1A1C1/2
\(\angle B_1 O C_1 = 180^{\circ} — \frac{\angle B_1 A_1 C_1}{2}\)
Шаг 2: Упростим выражение для ∠B10C1.
∠B1A1C1 = 180° — (∠A1 + ∠B1 + ∠C1) = 180° — (90° + 60° + 30°) = 0°
Следовательно, ∠B10C1 = 180° — 0°/2 = 180°
Шаг 3: Найдем угол ∠B10C1 другим способом.
Согласно свойству вписанного угла, ∠B10C1 = 90° + ∠A1/2
\(\angle B_1 O C_1 = 90^{\circ} + \frac{\angle A_1}{2}\)
Шаг 4: Приравняем два выражения для ∠B10C1.
180° = 90° + ∠A1/2
∠A1/2 = 90°
∠A1 = 180°
Шаг 5: Найдем остальные углы треугольника ∆ABC.
∠A = 90° — ∠A1/2 = 90° — 45° = 45°
∠B = 90° — ∠B1/2 = 90° — 30° = 60°
∠C = 90° — ∠C1/2 = 90° — 15° = 75°
Шаг 6: Найдем отношение сторон треугольников ∆ABC и ∆CB1A.
∠BCA = ∠CB1A
∠BAC = ∠CAB1
\(\frac{\Delta BAC_1}{\Delta CAB_1} = \frac{BA}{CA} = \frac{C_1 A}{B_1 A}\)
Шаг 7: Найдем углы ∠B, ∠C и ∠A.
∠B = ∠B1/2 = 15°
∠C = ∠B1/2 = 30°
∠A = 180° — ∠B — ∠C = 135°
Шаг 8: Найдем углы ∠A, ∠C и ∠B.
∠A = ∠C1/2 = 15°
∠C = ∠A1/2 = 45°
∠B = 180° — ∠BAC — ∠ACB = 120°
Шаг 9: Найдем углы ∠B, ∠A и ∠C.
∠B = ∠A1/2 = 45°
∠A = ∠B1/2 = 30°
∠C = 180° — ∠ABC — ∠BAC = 105°
Ответ: 45°; 60°; 75° и 15°; 30°; 135°; 15°; 45°; 120° и 45°; 30°; 105°.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.