ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 6 Атанасян — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведены высоты ВM и CN, точка О — центр вписанной в треугольник окружности. Известно, что ВС = 24, MN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС

Решение:
1) Для вписанной окружности: \(ZBOC = 180° — \frac{1}{2}(180° — ZBAC)\)
2) Треугольники подобны: \(\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} = \frac{1}{2}\), \(\cos ZBAM = \frac{1}{2}\), \(ZBAM = 60°\)
3) \(ZBOC = 90° + \frac{1}{2}ZBAC = 120°\)
4) \(2R = \frac{BC}{\sin ZBOC} = \frac{24}{\sin 120°} = 24 \cdot 2 = 48\), \(R = 24\)
Ответ: 24 или 8√3

Решение задачи:

Дано: Δ ABC, где BM ⊥ AC, CN ⊥ AB, BC = 24, MN = 12.

Найти: RBOC

Решение:

1) Для вписанной окружности:
ΔBOC — треугольник, вписанный в окружность. Следовательно, угол BOC равен половине разности между 180° и суммой углов Δ ABC, не лежащих на окружности:
\(ZBOC = 180° — \frac{1}{2}(180° — ZBAC)\)
\(ZBOC = 180° — \frac{1}{2}(180° — ZBAC)\)
\(ZBOC = 180° — \frac{1}{2}(180° — 90° + \frac{1}{2}ZBAC)\)
\(ZBOC = 90° + \frac{1}{2}ZBAC\)

2) Треугольники подобны:
Из подобия Δ ABC и Δ AMN имеем:
\(\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}\)
\(\frac{AM}{AB} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\)
\(\cos ZBAM = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}\)
\(ZBAM = 60°\)

3) Вычисление ZBOC:
\(ZBOC = 90° + \frac{1}{2}ZBAC\)
\(ZBOC = 90° + \frac{1}{2}60° = 120°\)

4) Вычисление радиуса окружности R:
\(2R = \frac{BC}{\sin ZBOC} = \frac{24}{\sin 120°} = 24 \cdot 2 = 48\)
\(R = 24\)

Ответ: R = 24 или R = 8√3