Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 43 Атанасян — Подробные Ответы
Медиана АМ и биссектриса CD треугольника АВС с прямым углом В пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если \(CO=9\) и \(OD= 5\).
Решение:
1) Теорема Менелая для ABCD:
\(\frac{DO}{OC} \cdot \frac{CM}{MB} \cdot \frac{BA}{AD} = 1\), \(\frac{AB}{AD} = \frac{9}{5}\), \(\frac{BD}{AD} = \frac{AB — AD}{AD} = \frac{4}{5}\)
2) В прямоугольном ΔABC:
\(\frac{BC}{AC} = \cos \angle C = \frac{4}{5}\)
\(\cos BCD = \cos \left(1 + \frac{4}{5}\right) = \frac{3}{\sqrt{10}}\)
\(BC = DC \cos BCD = \frac{14 \cdot 3}{\sqrt{10}} = \frac{42}{\sqrt{10}}\)
\(AC = \frac{5}{4} BC = \frac{5 \cdot 42}{4 \sqrt{10}} = \frac{105}{2\sqrt{10}}\)
\(AB = \sqrt{AC^2 — BC^2} = \sqrt{\frac{2205}{8} — \frac{882}{5}} = \frac{63}{\sqrt{40}}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{63}{\sqrt{40}} \cdot \frac{42}{\sqrt{10}} = \frac{1323}{20}\)
Ответ: \(\frac{1323}{20}\).
Дано:
— Треугольник ΔABC
— Угол ∠B = 90°
— CD — биссектриса угла ∠C
— CM = BM
— CO = 9
— OD = 5
Решение:
1) Применим теорему Менелая для четырехугольника ABCD:
\(\frac{DO}{OC} \cdot \frac{CM}{MB} \cdot \frac{BA}{AD} = 1\)
Из условия имеем:
\(\frac{OD}{OC} = \frac{5}{9}\)
\(\frac{CM}{MB} = 1\), так как CM = BM
\(\frac{BA}{AD} = \frac{AB}{AD}\)
Подставляя данные, получаем:
\(\frac{5}{9} \cdot 1 \cdot \frac{AB}{AD} = 1\)
\(\frac{AB}{AD} = \frac{9}{5}\)
2) Используем прямоугольный треугольник ABC:
\(\frac{BC}{AC} = \cos \angle C\)
Из этого следует:
\(\cos \angle C = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5}\)
3) Находим длину BC:
\(\cos BCD = \cos \left(1 + \frac{4}{5}\right) = \frac{3}{\sqrt{10}}\)
\(BC = DC \cos BCD = \frac{14 \cdot 3}{\sqrt{10}} = \frac{42}{\sqrt{10}}\)
4) Находим длину AC:
\(AC = \frac{5}{4} BC = \frac{5 \cdot 42}{4 \sqrt{10}} = \frac{105}{2\sqrt{10}}\)
5) Находим длину AB:
\(AB = \sqrt{AC^2 — BC^2} = \sqrt{\frac{2205}{8} — \frac{882}{5}} = \frac{63}{\sqrt{40}}\)
6) Находим площадь треугольника ABC:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{63}{\sqrt{40}} \cdot \frac{42}{\sqrt{10}} = \frac{1323}{20}\)
Ответ: \(\frac{1323}{20}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.