ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 42 Атанасян — Подробные Ответы

На продолжении за точку В диаметра АВ окружности отложен отрезок ВС, равный диаметру. Прямая, проходящая через точку С, касается окружности в точке М. Найдите площадь треугольника АСМ, если радиус окружности равен R.

Решение:
1) В прямоугольном ΔOMC: \(\angle{OMC} = 90^\circ\), \(OM = R\), \(OC = 3R\), \(CM = \sqrt{(3R)^2 — R^2} = \sqrt{8R^2} = 2R\sqrt{2}\), \(\sin{\angle{OCM}} = \frac{OM}{OC} = \frac{1}{3}\)
2) В треугольнике ΔAMC: \(S_{AMC} = \frac{1}{2}AC \cdot CM \cdot \sin{\angle{OCM}} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot 2R\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}R^2\)
Ответ: \(\frac{4\sqrt{2}}{3}R^2\).

Решение:
Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМС. Известно, что \(\angle{OMC} = 90^\circ\), \(OM = R\) и \(OC = 3R\). Используя теорему Пифагора, можно найти длину стороны СМ:
\(CM = \sqrt{OC^2 — OM^2} = \sqrt{(3R)^2 — R^2} = \sqrt{8R^2} = 2R\sqrt{2}\)

2) Найдем синус угла \(\angle{OCM}\):
\(\sin{\angle{OCM}} = \frac{OM}{OC} = \frac{R}{3R} = \frac{1}{3}\)

3) Теперь рассмотрим треугольник АМС. Площадь этого треугольника можно найти по формуле:
\(S_{AMC} = \frac{1}{2}AC \cdot CM \cdot \sin{\angle{OCM}}\)

Подставляя известные значения, получаем:
\(S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot 2R\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}R^2\)

Ответ: \(\frac{4\sqrt{2}}{3}R^2\).