Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 40 Атанасян — Подробные Ответы
Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает в точке D продолжение стороны АВ за точку А, причём \(AD == AB\). Найдите площадь треугольника АВС, если \(АС = 1\)
Решение:
1) В треугольнике ΔАМС: BM = MC, AM ⊥ BC, AC = AB;
AB = 1, AD = \(\frac{2}{3}\) AB = \(\frac{2}{3}\).
2) В треугольнике ΔADC:
CD = \(\sqrt{AC^2 — AD^2}\) = \(\sqrt{1 — \left(\frac{2}{3}\right)^2}\) = \(\sqrt{1 — \frac{4}{9}}\) = \(\sqrt{\frac{5}{9}}\) = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\).
3) Треугольники ΔBAH и ΔCAD равны, AB = AC = 1, BH = CD = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\).
4) Площадь треугольника ΔABC:
S = \(\frac{1}{2}\) BH · AC = \(\frac{1}{2}\) · \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) · 1 = \(\frac{\sqrt{5}}{6}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{6}\)
Хорошо, вот полное пошаговое решение с детальными объяснениями:
Дано: в треугольнике ΔABC известны AC = 1 и AD = \(\frac{2}{3}\) AB.
Шаг 1. Найдем длину отрезка AB.
Поскольку AC = 1 и AD = \(\frac{2}{3}\) AB, то AB = 1.
Шаг 2. Найдем длину отрезка BM.
Так как BM = MC, то BM = \(\frac{1}{2}\) AB = \(\frac{1}{2}\).
Шаг 3. Найдем длину отрезка CD.
Используя теорему Пифагора, получаем: CD = \(\sqrt{AC^2 — AD^2}\) = \(\sqrt{1 — \left(\frac{2}{3}\right)^2}\) = \(\sqrt{\frac{5}{9}}\) = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\).
Шаг 4. Найдем длину отрезка BH.
Так как треугольники ΔBAH и ΔCAD равны, то BH = CD = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\).
Шаг 5. Найдем площадь треугольника ΔABC.
Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = \(\frac{1}{2}\) BH · AC = \(\frac{1}{2}\) · \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) · 1 = \(\frac{\sqrt{5}}{6}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{6}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.