Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 39 Атанасян — Подробные Ответы
Основания трапеции равны а и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.
Решение:
Из подобия треугольников: \(LB = LE = LA; \Delta BMC \sim \Delta AMD \sim \Delta EMF\)
\(\frac{S_{AMD}}{S_{ABD}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2; \quad S_{ABCD} = S_{BMC} + \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 S_{BMC} — S_{BMC}\)
\(S_{EBF} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 S_{BMC}; \quad S_{EBF} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 — 1\)
\(\frac{S_{EBF}}{S_{ABCD}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 — 1 = \frac{2}{5}\)
\(EF^2 = 2AD^2 + 3BC^2; \quad EF = \sqrt{\frac{2AD^2 + 3BC^2}{5}}\)
Ответ: \(\sqrt{\frac{2a^2 + 3b^2}{5}} \text{ или } \sqrt{\frac{3a^2 + 2b^2}{5}}\)
Дано:
— Треугольник ABCD
— Отрезок EF параллелен AD
— \(S_{EBCF} = \frac{2}{3}S_{AEFD}\)
— AD = a, BC = b
Решение:
1. Из подобия треугольников ABC и AMD, а также ABC и EMF, получаем:
\(LB = LE = LA\)
\(\Delta BMC \sim \Delta AMD \sim \Delta EMF\)
2. Используя свойства подобных треугольников, можно записать:
\(\frac{S_{AMD}}{S_{ABD}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2\)
\(S_{ABCD} = S_{BMC} + \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 S_{BMC} — S_{BMC}\)
3. Аналогично, для треугольника EBF:
\(S_{EBF} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 S_{BMC}\)
\(S_{EBF} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 — 1\)
4. Используя пропорцию площадей:
\(\frac{S_{EBF}}{S_{ABCD}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 — 1 = \frac{2}{5}\)
5. Решая полученное уравнение, находим:
\(EF^2 = 2AD^2 + 3BC^2\)
\(EF = \sqrt{\frac{2AD^2 + 3BC^2}{5}}\)
Ответ: \(\sqrt{\frac{2a^2 + 3b^2}{5}} \text{ или } \sqrt{\frac{3a^2 + 2b^2}{5}}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.