ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 39 Атанасян — Подробные Ответы

Основания трапеции равны а и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.

Решение:
Из подобия треугольников: \(LB = LE = LA; \Delta BMC \sim \Delta AMD \sim \Delta EMF\)
\(\frac{S_{AMD}}{S_{ABD}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2; \quad S_{ABCD} = S_{BMC} + \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 S_{BMC} — S_{BMC}\)
\(S_{EBF} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 S_{BMC}; \quad S_{EBF} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 — 1\)
\(\frac{S_{EBF}}{S_{ABCD}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 — 1 = \frac{2}{5}\)
\(EF^2 = 2AD^2 + 3BC^2; \quad EF = \sqrt{\frac{2AD^2 + 3BC^2}{5}}\)
Ответ: \(\sqrt{\frac{2a^2 + 3b^2}{5}} \text{ или } \sqrt{\frac{3a^2 + 2b^2}{5}}\)

Дано:
— Треугольник ABCD
— Отрезок EF параллелен AD
— \(S_{EBCF} = \frac{2}{3}S_{AEFD}\)
— AD = a, BC = b

Решение:
1. Из подобия треугольников ABC и AMD, а также ABC и EMF, получаем:
\(LB = LE = LA\)
\(\Delta BMC \sim \Delta AMD \sim \Delta EMF\)

2. Используя свойства подобных треугольников, можно записать:
\(\frac{S_{AMD}}{S_{ABD}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2\)
\(S_{ABCD} = S_{BMC} + \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 S_{BMC} — S_{BMC}\)

3. Аналогично, для треугольника EBF:
\(S_{EBF} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 S_{BMC}\)
\(S_{EBF} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 — 1\)

4. Используя пропорцию площадей:
\(\frac{S_{EBF}}{S_{ABCD}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 — 1 = \frac{2}{5}\)

5. Решая полученное уравнение, находим:
\(EF^2 = 2AD^2 + 3BC^2\)
\(EF = \sqrt{\frac{2AD^2 + 3BC^2}{5}}\)

Ответ: \(\sqrt{\frac{2a^2 + 3b^2}{5}} \text{ или } \sqrt{\frac{3a^2 + 2b^2}{5}}\)