ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 35 Атанасян — Подробные Ответы

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки К, L и М так, что \(AK : KB=2: 3\), \(BL: LC=1 : 2\) и \(CM : MA= 3 : 1\). В каком отношении точка пересечения отрезков KL и BM делит отрезок ВМ?

Решение:
1) Теорема Менелая в ΔABC:
\(\frac{AK}{KB} = \frac{BL}{LC} = \frac{CD}{DA} = 1\), \(\frac{AK}{KB} = \frac{2}{3}, \frac{BL}{LC} = \frac{1}{2}, \frac{CD}{DA} = 1\)
CD = 3DA, AC = CD — DA = 2DA
AC = CM + MA = MA + 3MA = 4MA
MA = \(\frac{DA}{2}\), DM = DA + \(\frac{1}{2}\)DA = \(\frac{3}{2}\)DA
2) Теорема Менелая в ΔMBC:
\(\frac{MP}{PB} = \frac{BL}{LC} = \frac{CD}{DM} = 1\), \(\frac{MP}{PB} = 1, \frac{BL}{LC} = \frac{1}{2}, \frac{CD}{DM} = 1\)
MP = PB, MP : PB = 1
Ответ: 1 : 1.

Решение:
Для нахождения соотношения BP : PM, сначала необходимо найти значения отрезков, используя теорему Менелая.

Теорема Менелая в треугольнике ABC:
Согласно условию задачи, даны следующие соотношения сторон треугольника ABC:
\(\frac{AK}{KB} = \frac{2}{3}\), \(\frac{BL}{LC} = \frac{1}{2}\), \(\frac{CD}{DA} = 1\)

Применяя теорему Менелая, получаем:
\(\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1\)
\(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CD}{DA} = 1\)
\(\frac{CD}{DA} = 3\)
CD = 3DA

Далее, находим длину отрезка AC:
AC = CD — DA = 3DA — DA = 2DA

Теперь можно найти длину отрезка MA:
AC = CM + MA
2DA = CM + MA
MA = 2DA — CM
MA = 2DA — 3MA
4MA = 2DA
MA = \(\frac{DA}{2}\)

Аналогично, находим длину отрезка DM:
DM = DA + \(\frac{1}{2}\)DA = \(\frac{3}{2}\)DA

Теперь применим теорему Менелая к треугольнику MBC:
\(\frac{MP}{PB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CD}{DM} = 1\)
\(\frac{MP}{PB} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{(3/2)DA} = 1\)
\(\frac{MP}{PB} = 1\)
MP = PB

Таким образом, BP : PM = 1 : 1.