ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 33 Атанасян — Подробные Ответы

Окружности радиусов 4 и 9 касаются друг друга извне, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Най- дите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и данной прямой

Решение:
1) Пусть точки касания A1, A2, A3 и r1 ≥ r2 ≥ r3: A1A2 = \(\sqrt{(r1 + r2)^2 — (r1 — r2)^2} = \sqrt{4r1r2} = 2\sqrt{r1r2}\)
2) Аналогично: A1A3 = 2\(\sqrt{r1r3}\) и A2A3 = 2\(\sqrt{r2r3}\)
3) 2\(\sqrt{r1r2} \geq 2\sqrt{r1r3} \geq 2\sqrt{r2r3}\); A1A2 ≥ A1A3 ≥ A2A3
4) Все точки A1, A2 и A3 лежат на одной прямой: A1A3 + A2A3 = A1A2, 2\(\sqrt{r1r3} + 2\sqrt{r2r3} = 2\sqrt{r1r2}\)
\(\frac{\sqrt{r1} + \sqrt{r2}}{\sqrt{r3}} = \sqrt{\frac{r1r2}{r3^2}}, r3 = \frac{r1r2}{(\sqrt{r1} + \sqrt{r2})^2}\)
\(\frac{\sqrt{r3} — \sqrt{r2}}{\sqrt{r1}} = \sqrt{\frac{r2r3}{r1^2}}, r1 = \frac{r2r3}{(\sqrt{r3} — \sqrt{r2})^2}\)
O3A3 = (4 * 9) / (2 + 3)^2 = 36 / 25 = 1,44

Ответ: 1,44.

Решение:
Дано:
— Радиусы окружностей: r1 = 4, r2 = 3, r3 = 2
— Координаты центров окружностей: O1(0, 0), O2(0, 9)

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем координаты точек касания A1, A2 и A3.
Точки касания A1, A2 и A3 лежат на одной прямой, проходящей через центры окружностей O1 и O2.
Координаты точки A1: A1(0, 4)
Координаты точки A2: A2(0, 6)
Координаты точки A3: A3(0, 8)

2. Вычислим длины отрезков A1A2, A1A3 и A2A3.
Длина отрезка A1A2: \(A1A2 = \sqrt{(r1 + r2)^2 — (r1 — r2)^2} = \sqrt{4 \cdot 4 \cdot 3} = 2\sqrt{48} = 2\sqrt{12^2} = 24\)
Длина отрезка A1A3: \(A1A3 = 2\sqrt{r1r3} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}\)
Длина отрезка A2A3: \(A2A3 = 2\sqrt{r2r3} = 2\sqrt{3 \cdot 2} = 2\sqrt{6}\)

3. Проверим выполнение условий:
a) \(2\sqrt{r1r2} \geq 2\sqrt{r1r3} \geq 2\sqrt{r2r3}\)
\(2\sqrt{4 \cdot 3} \geq 2\sqrt{4 \cdot 2} \geq 2\sqrt{3 \cdot 2}\)
\(2\sqrt{12} \geq 2\sqrt{8} \geq 2\sqrt{6}\)
Условие выполняется.
б) \(A1A2 \geq A1A3 \geq A2A3\)
\(24 \geq 4\sqrt{2} \geq 2\sqrt{6}\)
Условие выполняется.

4. Найдем значение O3A3.
\(O3A3 = \frac{4 \cdot 9}{(2 + 3)^2} = \frac{36}{25} = 1,44\)

Ответ: 1,44.