Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 32 Атанасян — Подробные Ответы
Окружности с центрами O1 и O2 касаются друг друга извне в точке С. Прямая касается этих окружностей в точках А и В, отличных от точки С. Найдите угол \(\angle AO2B\), если \(\tan \angle ABC = 1\).
Дано: \(\tan \angle АВС = \frac{1}{2}\). Найти: \(\angle АО_2В\).
1) В ΔАВС: \(\angle ВО_2С = 180° — \angle АО_1С\), \(\angle АСО_2 = 90° — \frac{\angle АО_1С}{2}\), \(\angle ВСО_2 = \angle АО_1С\), \(\angle С = 90°\), \(ВС = 2АС\), \(АВ = АС\sqrt{5}\).
2) В равнобедренном ΔВОC: \(\angle ВСО_2 = \angle СВО_2 = 90° — \frac{\angle АО_1С}{2}\), \(\sin 2\angle ВСО_2 = \cos \angle АВС\), \(\sin \angle ВО_2С = \sin 2\angle АВС\), \(\cos \angle АВС = \frac{2}{\sqrt{5}}\), \(\sin \angle АВС = \frac{1}{\sqrt{5}}\), \(\sin 2\angle АВС = \frac{4}{5}\), \(ВО_2 = АС\sqrt{5}\).
3) В ΔАВОC: \(АВ = ВО_2\), \(\angle АО_2В = 45°\).
Ответ: \(\angle АО_2В = 45°\).
Дано: касательная АВ к окружности, \(\tan \angle АВС = \frac{1}{2}\).
Найти: \(\angle АО_2В\).
1) Рассмотрим треугольник ΔАВС:
— Так как АВ является касательной к окружности, то \(\angle ВО_2С = 180° — \angle АО_1С\).
— \(\angle АСО_2 = \frac{1}{2}(180° — \angle АО_1С) = 90° — \frac{\angle АО_1С}{2}\).
— \(\angle ВСО_2 = \frac{1}{2}(180° — 2\angle ВО_2С) = \frac{1}{2}(180° — 2(180° — \angle АО_1С)) = \angle АО_1С\).
— \(\angle С = 180° — 90° + \frac{\angle АО_1С}{2} — \frac{\angle АО_1С}{2} = 90°\).
— \(\tan \angle АВС = \frac{АС}{ВС} = \frac{1}{2}\), следовательно, \(ВС = 2АС\) и \(АВ = \sqrt{АС^2 + ВС^2} = АС\sqrt{5}\).
2) Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔВОC:
— \(\angle ВСО_2 = \angle СВО_2 = 90° — \frac{\angle АО_1С}{2}\).
— \(\sin 2\angle ВСО_2 = \cos \angle АВС\).
— \(\sin \angle ВО_2С = \sin 2\angle АВС\).
— \(\cos \angle АВС = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \angle АВС}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\).
— \(\sin \angle АВС = \cos \angle АВС \cdot \tan \angle АВС = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
— \(\sin 2\angle АВС = 2 \sin \angle АВС \cos \angle АВС = \frac{4}{5}\).
— \(\frac{ВС}{\sin \angle ВО_2С} = \frac{ВО_2}{\sin \angle ВСО_2}\), следовательно, \(ВО_2 = АС \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = АС\sqrt{5}\).
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВОC:
— \(АВ = ВО_2\).
— \(\angle АО_2В = 45°\).
Ответ: \(\angle АО_2В = 45°\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.