Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 32 Атанасян — Подробные Ответы
Окружности с центрами O1 и O2 касаются друг друга извне в точке С. Прямая касается этих окружностей в точках А и В, отличных от точки С. Найдите угол \(\angle AO2B\), если \(\tan \angle ABC = 1\).
Дано: \(\tan \angle АВС = \frac{1}{2}\). Найти: \(\angle АО_2В\).
1) В ΔАВС: \(\angle ВО_2С = 180° — \angle АО_1С\), \(\angle АСО_2 = 90° — \frac{\angle АО_1С}{2}\), \(\angle ВСО_2 = \angle АО_1С\), \(\angle С = 90°\), \(ВС = 2АС\), \(АВ = АС\sqrt{5}\).
2) В равнобедренном ΔВОC: \(\angle ВСО_2 = \angle СВО_2 = 90° — \frac{\angle АО_1С}{2}\), \(\sin 2\angle ВСО_2 = \cos \angle АВС\), \(\sin \angle ВО_2С = \sin 2\angle АВС\), \(\cos \angle АВС = \frac{2}{\sqrt{5}}\), \(\sin \angle АВС = \frac{1}{\sqrt{5}}\), \(\sin 2\angle АВС = \frac{4}{5}\), \(ВО_2 = АС\sqrt{5}\).
3) В ΔАВОC: \(АВ = ВО_2\), \(\angle АО_2В = 45°\).
Ответ: \(\angle АО_2В = 45°\).
Дано: касательная АВ к окружности, \(\tan \angle АВС = \frac{1}{2}\).
Найти: \(\angle АО_2В\).
1) Рассмотрим треугольник ΔАВС:
— Так как АВ является касательной к окружности, то \(\angle ВО_2С = 180° — \angle АО_1С\).
— \(\angle АСО_2 = \frac{1}{2}(180° — \angle АО_1С) = 90° — \frac{\angle АО_1С}{2}\).
— \(\angle ВСО_2 = \frac{1}{2}(180° — 2\angle ВО_2С) = \frac{1}{2}(180° — 2(180° — \angle АО_1С)) = \angle АО_1С\).
— \(\angle С = 180° — 90° + \frac{\angle АО_1С}{2} — \frac{\angle АО_1С}{2} = 90°\).
— \(\tan \angle АВС = \frac{АС}{ВС} = \frac{1}{2}\), следовательно, \(ВС = 2АС\) и \(АВ = \sqrt{АС^2 + ВС^2} = АС\sqrt{5}\).
2) Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔВОC:
— \(\angle ВСО_2 = \angle СВО_2 = 90° — \frac{\angle АО_1С}{2}\).
— \(\sin 2\angle ВСО_2 = \cos \angle АВС\).
— \(\sin \angle ВО_2С = \sin 2\angle АВС\).
— \(\cos \angle АВС = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \angle АВС}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\).
— \(\sin \angle АВС = \cos \angle АВС \cdot \tan \angle АВС = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
— \(\sin 2\angle АВС = 2 \sin \angle АВС \cos \angle АВС = \frac{4}{5}\).
— \(\frac{ВС}{\sin \angle ВО_2С} = \frac{ВО_2}{\sin \angle ВСО_2}\), следовательно, \(ВО_2 = АС \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = АС\sqrt{5}\).
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВОC:
— \(АВ = ВО_2\).
— \(\angle АО_2В = 45°\).
Ответ: \(\angle АО_2В = 45°\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.