Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 31 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ и АС равны 4 и 3, точка D — середина гипотенузы ВС. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD.
1) В прямоугольном ΔАВС: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{25} = 5\); \(AD = BD = CD = R = \frac{BC}{2} = 2.5\)
2) В треугольнике ΔABDA: \(S = \frac{1}{2} AB \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1.5 = 3\); \(EM = \frac{2S}{BD + DA + BA} = \frac{6}{5} = \frac{6}{3}\)
3) В треугольнике ΔACDA: \(S = \frac{1}{2} AC \cdot DN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\); \(FN = \frac{2S}{CD + CA + DA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
4) В прямоугольном ΔAEDF: \(DE = \frac{3}{2} — \frac{2}{3} = \frac{5}{6}\); \(DF = 2 — \frac{4}{3} = \frac{5}{3}\)
\(EF = \sqrt{\frac{25}{36} + \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{325}{144}} = \frac{5\sqrt{13}}{12}\)
Ответ: \(\frac{5\sqrt{13}}{12}\)
Дано: \(kac. AD\), \(\angle A = 90^\circ\), \(AB = 4\), \(AC = 3\). Найти: \(EF\).
Решение:
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC.
Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны BC:
\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\)
Так как ΔABC — прямоугольный, то \(AD = BD = CD = R = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\)
2) Рассмотрим треугольник ΔABDA.
Площадь треугольника ΔABDA:
\(S = \frac{1}{2} AB \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1.5 = 3\)
Высота EM треугольника ΔABDA:
\(EM = \frac{2S}{BD + DA + AB} = \frac{2 \cdot 3}{2.5 + 2.5 + 4} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
3) Рассмотрим треугольник ΔACDA.
Площадь треугольника ΔACDA:
\(S = \frac{1}{2} AC \cdot DN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\)
Высота FN треугольника ΔACDA:
\(FN = \frac{2S}{CD + CA + DA} = \frac{2 \cdot 3}{2.5 + 3 + 2.5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAEDF.
Катет DE:
\(DE = \frac{3}{2} — \frac{2}{3} = \frac{5}{6}\)
Катет DF:
\(DF = 2 — \frac{4}{3} = \frac{5}{3}\)
Гипотенуза EF:
\(EF = \sqrt{DE^2 + DF^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{36} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{325}{144}} = \frac{5\sqrt{13}}{12}\)
Ответ: \(\frac{5\sqrt{13}}{12}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.