Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 30 Атанасян — Подробные Ответы
На стороне ВА угла АВС, равного 30°, взята такая точка D, что \(AD=2\) и \(BD= 1\). Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС
Решение:
1) В данной окружности: \(BE^2 = AB \cdot BD = 3; BE = \sqrt{3}\)
2) В треугольнике ABDE: \(DE^2 = BD^2 + BE^2 — 2BD \cdot BE \cos B; DE^2 = 1 + 3 — 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1, \)
\(DE = 1\)
3) В треугольнике ΔAOD: \(\angle E = 60^{\circ}, OE = DE = 1\)
4) В треугольнике ABDE: \(DE^2 = BD^2 + BE^2 — 2BD \cdot BE \cos B; DE^2 = 1 + 3 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7,\)
\( DE = \sqrt{7}\)
5) В треугольнике ΔAOD: \(\sin \theta = \sin(180^{\circ} — 2\angle OED) = \sin(2\angle OED)\)
Ответ: 1 или 7.
Рассмотрим данное задание подробно:
Дано:
— Касательная к окружности ВС, \(\angle ABC = 30^\circ\)
— AD = 2, BD = 1
Требуется найти: OE
Решение:
1. Найдем длину отрезка BE.
Используя свойства прямоугольного треугольника, можем записать:
\(BE^2 = AB \cdot BD = 3\)
Тогда \(BE = \sqrt{3}\)
2. Найдем длину отрезка DE в треугольнике ABDE.
Применив теорему Пифагора, получим:
\(DE^2 = BD^2 + BE^2 — 2BD \cdot BE \cos B\)
Подставляя известные значения, имеем:
\(DE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ\)
Упрощая выражение, находим:
\(DE^2 = 1 + 3 — 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1\)
Следовательно, \(DE = 1\)
3. Рассмотрим треугольник ΔAOD.
Из условия задачи известно, что \(\angle AOD = 60^\circ\), значит \(OE = DE = 1\)
4. Вернемся к треугольнику ABDE.
Используя теорему Пифагора, найдем длину отрезка DE:
\(DE^2 = BD^2 + BE^2 — 2BD \cdot BE \cos B\)
Подставляя известные значения, получим:
\(DE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Упрощая выражение, находим:
\(DE^2 = 1 + 3 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\)
Следовательно, \(DE = \sqrt{7}\)
5. Рассмотрим треугольник ΔAOD.
Используя теорему синусов, можем записать:
\(\frac{DE}{\sin \theta} = \frac{OD}{\sin (180^\circ — 2\angle OED)}\)
Откуда \(\sin \theta = \sin (180^\circ — 2\angle OED)\)
Ответ: OE = 1 или OE = 7.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.