Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 26 Атанасян — Подробные Ответы
Треугольник АВС вписан в окружность радиуса 12, \(AB = 6\) и \(BC =4\). Найдите АС
Решение:
В треугольнике ΔABC:
\(\sin \angle BAC = \frac{AB}{2R} = \frac{6}{2\cdot 4} = \frac{3}{4}\)
\(\sin \angle ACB = \frac{BC}{2R} = \frac{4}{2\cdot 4} = \frac{1}{2}\)
\(\cos \angle BAC = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
\(\cos \angle ACB = \pm \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(\sin \angle ABC = \sin A \cos C + \sin C \cos A = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{15}}{12} = \frac{\sqrt{15} + 2}{12}\)
\(AC = 2R \sin \angle B = 2\cdot 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{15} + 2}{12}\right) = \sqrt{35} + \sqrt{15}\)
Ответ: \(\sqrt{35} + \sqrt{15}\).
Решение:
Дано: в треугольнике ΔABC, OA = 12, AB = 6, BC = 4.
Требуется найти длину AC.
Шаг 1: Найдем синус угла BAC.
Синус угла BAC равен отношению противолежащей стороны AB к диаметру окружности, описанной вокруг треугольника ΔABC:
\(\sin \angle BAC = \frac{AB}{2R} = \frac{6}{2\cdot 4} = \frac{3}{4}\)
Шаг 2: Найдем синус угла ACB.
Синус угла ACB равен отношению противолежащей стороны BC к диаметру окружности, описанной вокруг треугольника ΔABC:
\(\sin \angle ACB = \frac{BC}{2R} = \frac{4}{2\cdot 4} = \frac{1}{2}\)
Шаг 3: Найдем косинус угла BAC.
Косинус угла BAC равен квадратному корню из разности единицы и квадрата синуса угла BAC:
\(\cos \angle BAC = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
Шаг 4: Найдем косинус угла ACB.
Косинус угла ACB равен квадратному корню из разности единицы и квадрата синуса угла ACB:
\(\cos \angle ACB = \pm \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}\)
Шаг 5: Найдем синус угла ABC.
Синус угла ABC равен сумме произведений синуса угла A на косинус угла C и синуса угла C на косинус угла A:
\(\sin \angle ABC = \sin A \cos C + \sin C \cos A = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{15}}{12} = \frac{\sqrt{15} + 2}{12}\)
Шаг 6: Найдем длину AC.
Длина AC равна произведению диаметра окружности, описанной вокруг треугольника ΔABC, на синус угла B:
\(AC = 2R \sin \angle B = 2\cdot 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{15} + 2}{12}\right) = \sqrt{35} + \sqrt{15}\)
Ответ: \(\sqrt{35} + \sqrt{15}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.