Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 26 Атанасян — Подробные Ответы
Треугольник АВС вписан в окружность радиуса 12, \(AB = 6\) и \(BC =4\). Найдите АС
Решение:
В треугольнике ΔABC:
\(\sin \angle BAC = \frac{AB}{2R} = \frac{6}{2\cdot 4} = \frac{3}{4}\)
\(\sin \angle ACB = \frac{BC}{2R} = \frac{4}{2\cdot 4} = \frac{1}{2}\)
\(\cos \angle BAC = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
\(\cos \angle ACB = \pm \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(\sin \angle ABC = \sin A \cos C + \sin C \cos A = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{15}}{12} = \frac{\sqrt{15} + 2}{12}\)
\(AC = 2R \sin \angle B = 2\cdot 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{15} + 2}{12}\right) = \sqrt{35} + \sqrt{15}\)
Ответ: \(\sqrt{35} + \sqrt{15}\).
Решение:
Дано: в треугольнике ΔABC, OA = 12, AB = 6, BC = 4.
Требуется найти длину AC.
Шаг 1: Найдем синус угла BAC.
Синус угла BAC равен отношению противолежащей стороны AB к диаметру окружности, описанной вокруг треугольника ΔABC:
\(\sin \angle BAC = \frac{AB}{2R} = \frac{6}{2\cdot 4} = \frac{3}{4}\)
Шаг 2: Найдем синус угла ACB.
Синус угла ACB равен отношению противолежащей стороны BC к диаметру окружности, описанной вокруг треугольника ΔABC:
\(\sin \angle ACB = \frac{BC}{2R} = \frac{4}{2\cdot 4} = \frac{1}{2}\)
Шаг 3: Найдем косинус угла BAC.
Косинус угла BAC равен квадратному корню из разности единицы и квадрата синуса угла BAC:
\(\cos \angle BAC = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
Шаг 4: Найдем косинус угла ACB.
Косинус угла ACB равен квадратному корню из разности единицы и квадрата синуса угла ACB:
\(\cos \angle ACB = \pm \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}\)
Шаг 5: Найдем синус угла ABC.
Синус угла ABC равен сумме произведений синуса угла A на косинус угла C и синуса угла C на косинус угла A:
\(\sin \angle ABC = \sin A \cos C + \sin C \cos A = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{15}}{12} = \frac{\sqrt{15} + 2}{12}\)
Шаг 6: Найдем длину AC.
Длина AC равна произведению диаметра окружности, описанной вокруг треугольника ΔABC, на синус угла B:
\(AC = 2R \sin \angle B = 2\cdot 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{15} + 2}{12}\right) = \sqrt{35} + \sqrt{15}\)
Ответ: \(\sqrt{35} + \sqrt{15}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.