Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 24 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая касается окружностей радиусов R и г в точках А и В. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно а, причём \(R+r
Решение:
1) В данной окружности: \(\angle ABC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\)
2) В треугольнике ∆AMC: \(\angle AMC = 180^\circ — \frac{\angle A + \angle C}{2} = 105^\circ\)
3) В данной окружности: \(\angle ABC = \frac{360^\circ — \angle AO}{2} = 150^\circ\)
4) В треугольнике ∆AMC: \(\angle AMC = 180^\circ — \frac{\angle A + \angle C}{2} = 165^\circ\)
Ответ: 105° или 165°.
Решение:
Дано:
— Центральный угол окружности \(\angle AOC = 60^\circ\)
— Необходимо найти угол \(\angle AMC\)
Шаг 1. Найдем угол \(\angle ABC\) в данной окружности.
Поскольку \(\angle AOC = 60^\circ\), то по свойству центрального и вписанного углов, \(\angle ABC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).
Шаг 2. Найдем угол \(\angle AMC\) в треугольнике \(\triangle AMC\).
Треугольник \(\triangle AMC\) является вписанным в окружность, поэтому сумма его углов равна \(180^\circ\). Таким образом:
\(\angle AMC = 180^\circ — (\angle A + \angle C)\)
Поскольку \(\angle ABC = 30^\circ\), то \(\angle A + \angle C = 180^\circ — \angle ABC = 180^\circ — 30^\circ = 150^\circ\).
Подставляя это в формулу, получаем:
\(\angle AMC = 180^\circ — 150^\circ = 30^\circ\)
Шаг 3. Найдем угол \(\angle ABC\) в данной окружности.
Поскольку \(\angle AOC = 60^\circ\), то по свойству центрального и вписанного углов, \(\angle ABC = \frac{360^\circ — \angle AOC}{2} = \frac{360^\circ — 60^\circ}{2} = 150^\circ\).
Шаг 4. Найдем угол \(\angle AMC\) в треугольнике \(\triangle AMC\).
Треугольник \(\triangle AMC\) является вписанным в окружность, поэтому сумма его углов равна \(180^\circ\). Таким образом:
\(\angle AMC = 180^\circ — (\angle A + \angle C)\)
Поскольку \(\angle ABC = 30^\circ\), то \(\angle A + \angle C = 180^\circ — \angle ABC = 180^\circ — 30^\circ = 150^\circ\).
Подставляя это в формулу, получаем:
\(\angle AMC = 180^\circ — 150^\circ = 30^\circ\)
Ответ: 105° или 165°.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.