ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 23 Атанасян — Подробные Ответы

Точка О — центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ за точку М взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что \(\angle ZAO K = 60°\). Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности извне.

Решение:
1) В прямоугольном ΔAOK:
\(AK = \frac{OK}{tg 40} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)
2) \(∠OAK = 90° — ∠OAK = 30°\)
3) В прямоугольном ΔO₁AK₁:
\(AK₁ = \frac{O₁K₁}{tg A} = \frac{r}{\sqrt{3}}\)
4) \(KK₁ = AK — AK₁\)
5) \(KK₂ = (2+r)² — (2-r)² = 8r\)
6) \(KK₁ = \sqrt{8r} = 2\sqrt{2r}\)
Ответ: \(2 — \frac{4\sqrt{2}}{3}\) или \(2 + \frac{4\sqrt{2}}{3}\).

Решение:
Дано:
— касательная АК
— ∠OAK = 60°
— OM = 2

Найти: O₁K₁

Решение:
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAOK.
В прямоугольном треугольнике ΔAOK:
\(AK = \frac{OK}{tg 60°} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)

2) Угол ∠OAK = 90° — ∠OAK = 30°.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔO₁AK₁.
В прямоугольном треугольнике ΔO₁AK₁:
\(AK₁ = \frac{O₁K₁}{tg A} = \frac{O₁K₁}{\sqrt{3}}\)

4) Найдем длину отрезка KK₁:
\(KK₁ = AK — AK₁ = \frac{2}{\sqrt{3}} — \frac{O₁K₁}{\sqrt{3}} = \frac{2-O₁K₁}{\sqrt{3}}\)

5) Найдем длину отрезка KK₂:
\(KK₂ = (2+r)² — (2-r)² = 8r\)

6) Найдем длину отрезка KK₁:
\(KK₁ = \sqrt{8r} = 2\sqrt{2r}\)

7) Приравняем выражения для KK₁:
\(\frac{2-O₁K₁}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2r}\)

8) Решим уравнение относительно O₁K₁:
\(O₁K₁ = 2 — 2\sqrt{2r}\)

Ответ: \(O₁K₁ = 2 — 2\sqrt{2r}\).