Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 22 Атанасян — Подробные Ответы
Окружности S1 и S2 радиусов R и г соответственно (R> r) касаются в точке А. Через точку В, лежащую на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2 в точке М. Найдите отрезок ВМ, если известно, что \(AB= a\).
Дано: кас. ВМ; AB = a
Найти: BM
1) В треугольнике ΔАО1В: \(O_1B^2 = O_1A^2 + AB^2 — 2O_1A \cdot AB \cos A\), \(R^2 = R^2 + a^2 — 2aR \cos A\), \(\cos A = \frac{a}{2R}\)
2) В треугольнике ΔАО2В: \(O_2B^2 = AB^2 + AO_2^2 — 2AB \cdot AO_2 \cos A\), \(O_2B^2 = a^2 + r^2 — \frac{a^2}{R}\)
3) В прямоугольном ΔО2МВ: \(BM = a \sqrt{1 + \frac{r}{R}}\)
4) В треугольнике ΔАО2В: \(O_2B^2 = AB^2 + AO_2^2 — 2AB \cdot AO_2 \cos A\), \(O_2B^2 = a^2 + r^2 — \frac{a^2}{R}\)
5) В прямоугольном ΔО2МВ: \(BM = a \sqrt{1 — \frac{r}{R}}\)
Ответ: \(BM = a \sqrt{1 \pm \frac{r}{R}}\)
1) Рассмотрим треугольник ΔАО1В:
\(O_1B^2 = O_1A^2 + AB^2 — 2O_1A \cdot AB \cos A\)
\(R^2 = R^2 + a^2 — 2aR \cos A\)
\(\cos A = \frac{a}{2R}\)
2) Рассмотрим треугольник ΔАО2В:
\(O_2B^2 = AB^2 + AO_2^2 — 2AB \cdot AO_2 \cos A\)
\(O_2B^2 = a^2 + r^2 + \frac{2ar \cdot a}{2R} = a^2 + r^2 — \frac{a^2}{R}\)
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔО2МВ:
\(BM = \sqrt{a^2 + r^2 + \frac{a^2 \cdot r}{R} — r^2} = a \sqrt{1 + \frac{r}{R}}\)
4) Рассмотрим треугольник ΔАО2В:
\(O_2B^2 = AB^2 + AO_2^2 — 2AB \cdot AO_2 \cos A\)
\(O_2B^2 = a^2 + r^2 — \frac{2ar \cdot a}{2R} = a^2 + r^2 — \frac{a^2}{R}\)
5) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔО2МВ:
\(BM = \sqrt{a^2 + r^2 — \frac{a^2 \cdot r}{R} — r^2} = a \sqrt{1 — \frac{r}{R}}\)
Ответ: \(BM = a \sqrt{1 \pm \frac{r}{R}}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.