ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 22 Атанасян — Подробные Ответы

Окружности S1 и S2 радиусов R и г соответственно (R> r) касаются в точке А. Через точку В, лежащую на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2 в точке М. Найдите отрезок ВМ, если известно, что \(AB= a\).

Дано: кас. ВМ; AB = a
Найти: BM

1) В треугольнике ΔАО1В: \(O_1B^2 = O_1A^2 + AB^2 — 2O_1A \cdot AB \cos A\), \(R^2 = R^2 + a^2 — 2aR \cos A\), \(\cos A = \frac{a}{2R}\)

2) В треугольнике ΔАО2В: \(O_2B^2 = AB^2 + AO_2^2 — 2AB \cdot AO_2 \cos A\), \(O_2B^2 = a^2 + r^2 — \frac{a^2}{R}\)

3) В прямоугольном ΔО2МВ: \(BM = a \sqrt{1 + \frac{r}{R}}\)

4) В треугольнике ΔАО2В: \(O_2B^2 = AB^2 + AO_2^2 — 2AB \cdot AO_2 \cos A\), \(O_2B^2 = a^2 + r^2 — \frac{a^2}{R}\)

5) В прямоугольном ΔО2МВ: \(BM = a \sqrt{1 — \frac{r}{R}}\)

Ответ: \(BM = a \sqrt{1 \pm \frac{r}{R}}\)

1) Рассмотрим треугольник ΔАО1В:
\(O_1B^2 = O_1A^2 + AB^2 — 2O_1A \cdot AB \cos A\)
\(R^2 = R^2 + a^2 — 2aR \cos A\)
\(\cos A = \frac{a}{2R}\)

2) Рассмотрим треугольник ΔАО2В:
\(O_2B^2 = AB^2 + AO_2^2 — 2AB \cdot AO_2 \cos A\)
\(O_2B^2 = a^2 + r^2 + \frac{2ar \cdot a}{2R} = a^2 + r^2 — \frac{a^2}{R}\)

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔО2МВ:
\(BM = \sqrt{a^2 + r^2 + \frac{a^2 \cdot r}{R} — r^2} = a \sqrt{1 + \frac{r}{R}}\)

4) Рассмотрим треугольник ΔАО2В:
\(O_2B^2 = AB^2 + AO_2^2 — 2AB \cdot AO_2 \cos A\)
\(O_2B^2 = a^2 + r^2 — \frac{2ar \cdot a}{2R} = a^2 + r^2 — \frac{a^2}{R}\)

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔО2МВ:
\(BM = \sqrt{a^2 + r^2 — \frac{a^2 \cdot r}{R} — r^2} = a \sqrt{1 — \frac{r}{R}}\)

Ответ: \(BM = a \sqrt{1 \pm \frac{r}{R}}\)