Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 20 Атанасян — Подробные Ответы
Окружности с центрами O1 и О2 пересекаются в точках А и В. Из- вестно, что \(\angle DAO B = 90°\), \(\angle КАО2 B = 60°\) и \(O102 = a\). Найдите радиусы окружностей
Решение:
В треугольнике ∆АО1О2:
\(\angle\mathrm{АО}_1\mathrm{О}_2 = \frac{1}{2}\cdot\angle\mathrm{АО}_1\mathrm{В} = 45°\)
\(\angle\mathrm{АО}_2\mathrm{О}_1 = \frac{1}{2}\cdot\angle\mathrm{АО}_2\mathrm{В} = 30°\)
\(\angle\mathrm{О}_1\mathrm{АО}_2 = 180° — 45° — 30° = 105°\)
\(\sin\mathrm{A} = \sin 60° \cos 45° + \sin 45° \cos 60° = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\mathrm{АО}_1}{\sin\mathrm{О}_2} = \frac{\mathrm{АО}_2}{\sin\mathrm{О}_2} = \frac{\mathrm{О}_1\mathrm{О}_2}{\sin\mathrm{A}} = \frac{2a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\)
\(\mathrm{АО}_1 = \frac{2a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\)
\(\mathrm{АО}_2 = \frac{2a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\)
Ответ: \(\frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} \text{ и } \frac{2a}{1+\sqrt{3}}\)
Дано:
\(\angle\mathrm{АО}_1\mathrm{В} = 90°\)
\(\angle\mathrm{АО}_2\mathrm{В} = 60°\)
\(\mathrm{О}_1\mathrm{О}_2 = a\)
Решение:
Рассмотрим треугольник ∆АО1О2.
Для нахождения \(\angle\mathrm{АО}_1\mathrm{О}_2\) и \(\angle\mathrm{АО}_2\mathrm{О}_1\) будем использовать свойство вписанных углов:
\(\angle\mathrm{АО}_1\mathrm{О}_2 = \frac{1}{2}\cdot\angle\mathrm{АО}_1\mathrm{В} = \frac{1}{2}\cdot 90° = 45°\)
\(\angle\mathrm{АО}_2\mathrm{О}_1 = \frac{1}{2}\cdot\angle\mathrm{АО}_2\mathrm{В} = \frac{1}{2}\cdot 60° = 30°\)
Теперь найдем \(\angle\mathrm{О}_1\mathrm{АО}_2\):
\(\angle\mathrm{О}_1\mathrm{АО}_2 = 180° — \angle\mathrm{АО}_1\mathrm{О}_2 — \angle\mathrm{АО}_2\mathrm{О}_1 = 180° — 45° — 30° = 105°\)
Используя формулу синусов, можно найти соотношение сторон треугольника:
\(\frac{\mathrm{АО}_1}{\sin\mathrm{О}_2} = \frac{\mathrm{АО}_2}{\sin\mathrm{О}_2} = \frac{\mathrm{О}_1\mathrm{О}_2}{\sin\mathrm{А}}\)
Найдем значение \(\sin\mathrm{А}\):
\(\sin\mathrm{A} = \sin 60° \cos 45° + \sin 45° \cos 60° = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}\)
Теперь можно найти длины сторон:
\(\frac{\mathrm{АО}_1}{\sin\mathrm{О}_2} = \frac{\mathrm{АО}_2}{\sin\mathrm{О}_2} = \frac{\mathrm{О}_1\mathrm{О}_2}{\sin\mathrm{А}} = \frac{2a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\)
\(\mathrm{АО}_1 = \frac{2a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\)
\(\mathrm{АО}_2 = \frac{2a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\)
Ответ: \(\frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} \text{ и } \frac{2a}{1+\sqrt{3}}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.