Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 19 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
Решение:
В прямоугольном ΔABC: CF = x; AB = 5 + 12 = 17; AC = x + 5, BC = x + 12; \(289 = (x+5)^2 + (x+12)^2\); \(2x^2 + 34x + 169 = 289\); \(x^2 + 17x — 60 = 0\); \(D = 17^2 + 4 \cdot 60 = 529\); \(x = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3\); AC = 8, BC = 15.
Ответ: 8 и 15.
Дано: в прямоугольном ΔABC, ∠C = 90°, BE = 12, AE = 5.
Решение:
1. Обозначим стороны прямоугольного ΔABC следующим образом:
— AB = x + 12 (так как BC = x + 12)
— AC = x + 5 (так как AC = x + 5)
2. Используем теорему Пифагора для прямоугольного ΔABC:
\((x + 5)^2 + (x + 12)^2 = 289\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(x^2 + 34x + 169 = 289\)
3. Решаем полученное квадратное уравнение:
\(x^2 + 34x — 120 = 0\)
\(D = 34^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 1156 + 480 = 1636\)
\(x = \frac{-34 \pm \sqrt{1636}}{2 \cdot 1} = \frac{-34 \pm 40.5}{2} = 3.25, -37.25\)
4. Так как длины сторон треугольника должны быть положительными, выбираем положительное значение:
\(x = 3.25\)
5. Находим длины сторон треугольника:
— AB = x + 12 = 3.25 + 12 = 15.25
— AC = x + 5 = 3.25 + 5 = 8.25
— BC = x + 12 = 3.25 + 12 = 15.25
Ответ: AC = 8.25, BC = 15.25.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.