ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 18 Атанасян — Подробные Ответы

Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга извне. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6 и 4.

Решение:
В прямоугольном ΔАВС: R3 = x, AB = 4 + 6 = 10; AC = 4 + x, BC = 6 + x;
\(100 = (x + 4)^2 + (x + 6)^2\)
\(2x^2 + 20x + 52 = 100\)
\(x^2 + 10x — 24 = 0\)
\(D = 10^2 + 4 \cdot 24 = 196\)
\(x = \frac{-10 + \sqrt{14}}{2} = 2\)
Ответ: 2.

Дано:
— ∠C = 90°
— BF = R1 = 6
— AF = R2 = 4

Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC.
2. Согласно условию, угол ∠C равен 90°, следовательно, треугольник ΔABC является прямоугольным.
3. Известно, что длина стороны BF равна R1 = 6, а длина стороны AF равна R2 = 4.
4. Нам необходимо найти значение R3.
5. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ΔABC, можно записать:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
6. Подставляя известные значения, получаем:
\(AB^2 = (4 + x)^2 + (6 + x)^2\)
7. Раскрывая скобки, имеем:
\(AB^2 = 16 + 8x + x^2 + 36 + 12x + x^2\)
8. Упрощая выражение, получаем:
\(AB^2 = 52 + 20x + 2x^2\)
9. Согласно условию, \(AB^2 = 100\), поэтому:
\(52 + 20x + 2x^2 = 100\)
10. Решая данное квадратное уравнение, находим:
\(2x^2 + 20x — 48 = 0\)
11. Используя формулу решения квадратного уравнения, получаем:
\(x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-48)}}{2 \cdot 2}\)
12. Упрощая выражение, имеем:
\(x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 384}}{4}\)
13. Вычисляя значение корня, получаем:
\(x = \frac{-20 \pm 14}{4}\)
14. Таким образом, \(x = \frac{-6}{4} = -1.5\) или \(x = \frac{-6}{4} = 2\).
15. Так как значение \(x = -1.5\) не является физически реальным, то принимаем \(x = 2\).
16. Следовательно, \(R3 = x = 2\).

Ответ: 2.