Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 16 Атанасян — Подробные Ответы
Через точку М, лежащую вне окружности с центром О и радиусом R, проведены касательные МА и МВ к этой окружности (А и В — точки касания). Прямые ОА и МВ пересекаются в точке С. Найдите ОС, если известно, что отрезок ОМ делится окружностью пополам.
Решение:
1) В прямоугольном ΔАОМ:
\(\sin \angle ОМА = \frac{ОА}{ОМ} = \frac{R}{R+R} = \frac{1}{2}\)
\(\angle ЛМ = 30°\), \(\angle СМА = 2 \cdot 30° = 60°\)
\(МА = \tan \angle ОМА \cdot R = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot R = \sqrt{3} \cdot R\)
2) В прямоугольном ΔСМА:
\(СА = МА \cdot \tan М = \sqrt{3} \cdot R \cdot \sqrt{3} = 3R\)
\(СО = СА — ОА = 3R — R = 2R\)
Ответ: 2R.
Решение:
Для нахождения значения ОС, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АОМ.
В этом треугольнике известны:
— касательная МВ
— касательная МА
— ОЕ = МЕ
— ОА = R
Используя свойства прямоугольного треугольника, можно найти:
— \(\sin \angle ОМА = \frac{ОА}{ОМ} = \frac{R}{R+R} = \frac{1}{2}\)
— \(\angle ЛМ = 30°\)
— \(\angle СМА = 2 \cdot 30° = 60°\)
— \(МА = \tan \angle ОМА \cdot R = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot R = \sqrt{3} \cdot R\)
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆СМА.
В этом треугольнике можно найти:
— \(СА = МА \cdot \tan М = \sqrt{3} \cdot R \cdot \sqrt{3} = 3R\)
— \(СО = СА — ОА = 3R — R = 2R\)
Таким образом, искомое значение ОС = 2R.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.