Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 16 Атанасян — Подробные Ответы
Через точку М, лежащую вне окружности с центром О и радиусом R, проведены касательные МА и МВ к этой окружности (А и В — точки касания). Прямые ОА и МВ пересекаются в точке С. Найдите ОС, если известно, что отрезок ОМ делится окружностью пополам.
Решение:
1) В прямоугольном ΔАОМ:
\(\sin \angle ОМА = \frac{ОА}{ОМ} = \frac{R}{R+R} = \frac{1}{2}\)
\(\angle ЛМ = 30°\), \(\angle СМА = 2 \cdot 30° = 60°\)
\(МА = \tan \angle ОМА \cdot R = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot R = \sqrt{3} \cdot R\)
2) В прямоугольном ΔСМА:
\(СА = МА \cdot \tan М = \sqrt{3} \cdot R \cdot \sqrt{3} = 3R\)
\(СО = СА — ОА = 3R — R = 2R\)
Ответ: 2R.
Решение:
Для нахождения значения ОС, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АОМ.
В этом треугольнике известны:
— касательная МВ
— касательная МА
— ОЕ = МЕ
— ОА = R
Используя свойства прямоугольного треугольника, можно найти:
— \(\sin \angle ОМА = \frac{ОА}{ОМ} = \frac{R}{R+R} = \frac{1}{2}\)
— \(\angle ЛМ = 30°\)
— \(\angle СМА = 2 \cdot 30° = 60°\)
— \(МА = \tan \angle ОМА \cdot R = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot R = \sqrt{3} \cdot R\)
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆СМА.
В этом треугольнике можно найти:
— \(СА = МА \cdot \tan М = \sqrt{3} \cdot R \cdot \sqrt{3} = 3R\)
— \(СО = СА — ОА = 3R — R = 2R\)
Таким образом, искомое значение ОС = 2R.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.