Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 15 Атанасян — Подробные Ответы
Окружность с центром О касается двух параллельных прямых. Касательная к окружности пересекает эти прямые в точках А и В. Найдите угол \(\angle КОВ\)
Решение:
1) В четырехугольнике EAMO: \(\angle A + 20 = 360° — 180° = 180°\); \(20 = 180° — \angle A, \angle OM = \frac{1}{2}\angle A\);
2) В четырехугольнике OMBF: \(\angle B + 20 = 360° — 180° = 180°\); \(20 = 180°- \angle B, \angle BOM = \frac{1}{2}\angle B\);
3) Как односторонние углы: \(\angle A + \angle B = 180°, \angle A = 180°- \angle B\); \(\angle AOB = \angle OM + \angle BOM = \frac{\angle A + \angle B}{2}\); \(\angle O = \frac{\angle B + 180°- \angle B}{2} = 90°\).
Ответ: 90°.
Рассмотрим задачу подробно:
Дано:
— Четырехугольник EAMO
— Прямые a и b параллельны
— Требуется найти угол AOB
Решение:
1) Рассмотрим четырехугольник EAMO. Так как сумма углов в четырехугольнике равна 360°, то можем записать: \(\angle A + 20 = 360° — 180° = 180°\). Отсюда получаем, что \(20 = 180° — \angle A\) и \(\angle OM = \frac{1}{2}\angle A\).
2) Рассмотрим четырехугольник OMBF. Аналогично, сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому \(\angle B + 20 = 360° — 180° = 180°\). Следовательно, \(20 = 180°- \angle B\) и \(\angle BOM = \frac{1}{2}\angle B\).
3) Так как прямые a и b параллельны, то \(\angle A + \angle B = 180°\). Отсюда \(\angle A = 180° — \angle B\).
4) Угол AOB можно представить как сумму углов OM и BOM: \(\angle AOB = \angle OM + \angle BOM = \frac{\angle A + \angle B}{2}\).
5) Наконец, находим \(\angle O\) как разность между 180° и \(\angle B\), деленную пополам: \(\angle O = \frac{\angle B + 180° — \angle B}{2} = 90°\).
Ответ: \(\angle AOB = 90°\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.