ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 14 Атанасян — Подробные Ответы

Четырёхугольник ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС. Найдите АС, если AB= 27, CD=28, BC=5 и \(\cos \angle BCD = -\frac{3}{5}\)

Решение:

1) В трапеции ABCD: \(\angle ADC = 180° — \angle BCD\); \(\cos \angle ADC = -\cos \angle BCD = \frac{2}{7}\)
2) В прямоугольном ΔCED: \(CE = CD \sin D = \frac{84\sqrt{5}}{7} = 12\sqrt{5}\)
3) В прямоугольном ΔABF: \(AF = \sqrt{AB^2 — BF^2} = \sqrt{9} = 3\)
4) В прямоугольном ΔACE: \(AE = AF + FE = AF + BC = 8\); \(AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{784} = 28\)
5) В прямоугольном ΔACE: \(AE = FE — AF = BC — AF = 2\); \(AC = \sqrt{(AE)^2 + (CE)^2} = \sqrt{724}\)

Ответ: 28 или \(\sqrt{724}\).

Решение:

Дано:
— Трапеция ABCD
— \(\cos C = -\frac{2}{7}\)
— \(AB = 27\)
— \(CD = 28\)
— \(BC = 5\)

Найти: \(AC\)

Решение:

1) Найдем угол \(\angle ADC\) в трапеции ABCD:
\(\angle ADC = 180° — \angle BCD\)
Поскольку \(\cos C = -\frac{2}{7}\), то \(\cos \angle BCD = -\frac{2}{7}\)
Следовательно, \(\angle BCD = \arccos(-\frac{2}{7}) = 180° — \angle ADC\)
Таким образом, \(\angle ADC = 180° — \arccos(-\frac{2}{7})\)

2) Найдем длину \(CE\) в прямоугольном треугольнике ΔCED:
\(CE = CD \sin \angle ADC\)
Подставляя значение \(\angle ADC\), получаем:
\(CE = 28 \sin (\angle ADC) = 28 \sin (180° — \arccos(-\frac{2}{7})) = 28 \sin (\arccos(-\frac{2}{7}))=\)
\( = \frac{84\sqrt{5}}{7}\)

3) Найдем длину \(AF\) в прямоугольном треугольнике ΔABF:
\(AF = \sqrt{AB^2 — BF^2} = \sqrt{27^2 — 0^2} = 3\)

4) Найдем длину \(AE\) в прямоугольном треугольнике ΔACE:
\(AE = AF + FE = AF + BC = 3 + 5 = 8\)
\(AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{8^2 + (\frac{84\sqrt{5}}{7})^2} = \sqrt{784} = 28\)

5) Найдем длину \(AE\) в другом прямоугольном треугольнике ΔACE:
\(AE = FE — AF = BC — AF = 5 — 3 = 2\)
\(AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{84\sqrt{5}}{7})^2} = \sqrt{724}\)

Ответ: \(AC = 28\) или \(AC = \sqrt{724}\).