Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 14 Атанасян — Подробные Ответы
Четырёхугольник ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС. Найдите АС, если AB= 27, CD=28, BC=5 и \(\cos \angle BCD = -\frac{3}{5}\)
Решение:
1) В трапеции ABCD: \(\angle ADC = 180° — \angle BCD\); \(\cos \angle ADC = -\cos \angle BCD = \frac{2}{7}\)
2) В прямоугольном ΔCED: \(CE = CD \sin D = \frac{84\sqrt{5}}{7} = 12\sqrt{5}\)
3) В прямоугольном ΔABF: \(AF = \sqrt{AB^2 — BF^2} = \sqrt{9} = 3\)
4) В прямоугольном ΔACE: \(AE = AF + FE = AF + BC = 8\); \(AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{784} = 28\)
5) В прямоугольном ΔACE: \(AE = FE — AF = BC — AF = 2\); \(AC = \sqrt{(AE)^2 + (CE)^2} = \sqrt{724}\)
Ответ: 28 или \(\sqrt{724}\).
Решение:
Дано:
— Трапеция ABCD
— \(\cos C = -\frac{2}{7}\)
— \(AB = 27\)
— \(CD = 28\)
— \(BC = 5\)
Найти: \(AC\)
Решение:
1) Найдем угол \(\angle ADC\) в трапеции ABCD:
\(\angle ADC = 180° — \angle BCD\)
Поскольку \(\cos C = -\frac{2}{7}\), то \(\cos \angle BCD = -\frac{2}{7}\)
Следовательно, \(\angle BCD = \arccos(-\frac{2}{7}) = 180° — \angle ADC\)
Таким образом, \(\angle ADC = 180° — \arccos(-\frac{2}{7})\)
2) Найдем длину \(CE\) в прямоугольном треугольнике ΔCED:
\(CE = CD \sin \angle ADC\)
Подставляя значение \(\angle ADC\), получаем:
\(CE = 28 \sin (\angle ADC) = 28 \sin (180° — \arccos(-\frac{2}{7})) = 28 \sin (\arccos(-\frac{2}{7}))=\)
\( = \frac{84\sqrt{5}}{7}\)
3) Найдем длину \(AF\) в прямоугольном треугольнике ΔABF:
\(AF = \sqrt{AB^2 — BF^2} = \sqrt{27^2 — 0^2} = 3\)
4) Найдем длину \(AE\) в прямоугольном треугольнике ΔACE:
\(AE = AF + FE = AF + BC = 3 + 5 = 8\)
\(AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{8^2 + (\frac{84\sqrt{5}}{7})^2} = \sqrt{784} = 28\)
5) Найдем длину \(AE\) в другом прямоугольном треугольнике ΔACE:
\(AE = FE — AF = BC — AF = 5 — 3 = 2\)
\(AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{84\sqrt{5}}{7})^2} = \sqrt{724}\)
Ответ: \(AC = 28\) или \(AC = \sqrt{724}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.