Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 13 Атанасян — Подробные Ответы
В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°, а их длины относятся как 1 : 3. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника ABCD, если большая равна \(\sqrt{39}\)?
Решение:
1) В треугольнике ΔAOFN:
\(\angle FON = 180° — \angle EON = 120°\);\(\frac{OF}{ON} = \frac{1}{3}\), \(FN = \frac{AC}{\sqrt{39}} = \frac{\sqrt{39}}{2}\)
2) В треугольнике ΔAEON:
\(EN^2 = OE^2 + ON^2 — 2OE \cdot ON \cdot \cos \theta\);\(EN = \frac{\sqrt{21}}{2}\), \(BD = 2EN = \sqrt{21}\)
Ответ: \(\sqrt{21}\).
Решение:
Дано: Отрезки BE = CE, AF = DF, AM = BM, CN = DN, EF/MN = 1/3, ∠EON = 60°, AC = √39.
Требуется найти длину отрезка BD.
Для решения задачи будем использовать свойства треугольников.
1. Рассмотрим треугольник ΔAOFN:
— Угол ∠FON = 180° — ∠EON = 180° — 60° = 120°
— Отношение сторон OF/ON = 1/3
— Длина стороны FN = AC/√39 = √39/2
2. Используя теорему косинусов, найдем длину стороны ON:
\(ON^2 = OF^2 + FN^2 — 2OF \cdot FN \cdot \cos \angle FON\)
\(ON^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{39}}{2}\right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} \cdot \cos 120°\)
\(ON^2 = \frac{1}{9} + \frac{39}{4} — \sqrt{39} \cdot \frac{1}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(ON^2 = \frac{13}{9}\)
\(ON = \frac{\sqrt{13}}{3}\)
3. Рассмотрим треугольник ΔAEON:
— Используя теорему косинусов, найдем длину стороны EN:
\(EN^2 = OE^2 + ON^2 — 2OE \cdot ON \cdot \cos \angle EON\)
\(EN^2 = \left(\frac{\sqrt{39}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{13}}{3}\right)^2 — 2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}}{3} \cdot \cos 60°\)
\(EN^2 = \frac{39}{4} + \frac{13}{9} — 2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}}{3} \cdot \frac{1}{2}\)
\(EN^2 = \frac{21}{4}\)
\(EN = \frac{\sqrt{21}}{2}\)
4. Длина отрезка BD = 2EN = \(\sqrt{21}\).
Ответ: \(\sqrt{21}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.