ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 16 Номер 1 Атанасян — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна с и LABC = 90°. Найдите все медианы этого треугольника.

1) В прямоугольном ΔABC:
BF = AF = c/2, CF = AF = c/2;
BC = AB cos a = c cos a;
AC = AB sin a = c sin a;

2) В прямоугольном ΔBEC:
BE = \(\sqrt{BC^2 + CE^2} = \sqrt{c^2 \cos^2 a + \frac{c^2 \sin^2 a}{4}}\);
BE = \(\frac{c}{2} \sqrt{4 \cos^2 a + \sin^2 a} = \frac{c}{2} \sqrt{1 + 3 \cos^2 a}\);

3) В прямоугольном ΔADC:
AD = \(\sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{c^2 \sin^2 a + \frac{c^2 \cos^2 a}{4}}\);
AD = \(\frac{c}{2} \sqrt{4 \sin^2 a + \cos^2 a} = \frac{c}{2} \sqrt{1 + 3 \sin^2 a}\);

Ответ: \(\frac{c}{2} \sqrt{1 + 3 \cos^2 a}\), \(\frac{c}{2} \sqrt{1 + 3 \sin^2 a}\).

Пошаговое решение:

Дано: ΔABC, где ∠ABC = 90°, ∠ABC = a, AB = c.

Требуется найти: AD, BE, CF.

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC.
— Так как ∠ABC = 90°, то BF = AF = c/2 и CF = AF = c/2.
— Используя определение косинуса, находим: BC = AB cos a = c cos a.
— Используя определение синуса, находим: AC = AB sin a = c sin a.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBEC.
— Используя теорему Пифагора, находим: BE = \(\sqrt{BC^2 + CE^2} = \sqrt{c^2 \cos^2 a + \frac{c^2 \sin^2 a}{4}}\).
— Упрощая выражение, получаем: BE = \(\frac{c}{2} \sqrt{4 \cos^2 a + \sin^2 a} = \frac{c}{2} \sqrt{1 + 3 \cos^2 a}\).

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔADC.
— Используя теорему Пифагора, находим: AD = \(\sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{c^2 \sin^2 a + \frac{c^2 \cos^2 a}{4}}\).
— Упрощая выражение, получаем: AD = \(\frac{c}{2} \sqrt{4 \sin^2 a + \cos^2 a} = \frac{c}{2} \sqrt{1 + 3 \sin^2 a}\).

Ответ: BE = \(\frac{c}{2} \sqrt{1 + 3 \cos^2 a}\), AD = \(\frac{c}{2} \sqrt{1 + 3 \sin^2 a}\), CF = c/2.