Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 8 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CA1B1.
Решение:
1) Отмечаем точки: \(A_1E = B_1E, AF = BF\)
2) В равнобедренном \(\Delta A_1CB\): \(A_1E = B_1E = \frac{A_1B_1}{2}, CE \parallel A_1B_1\)
3) В равнобедренном \(\Delta ABC\): \(AF = BF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}, CF \perp AB\)
\(CF = \sqrt{AC^2 — AF^2} = \sqrt{\frac{3}{4} — \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
4) Для призмы \(ABCA_1B_1C_1\): \(EF \perp AB, \angle ECF\) — искомый
5) В прямоугольном \(\Delta ECF\):
\(\tan \angle ECF = \frac{EF}{CF} = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)
Ответ: \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Решение:
Дано: \(AA_1 = AB = 1\)
Требуется найти: \(\tan \angle ECF\)
1) Отметим точки на рисунке: \(A_1E = B_1E\) и \(AF = BF\). Это следует из того, что \(\triangle A_1CB\) и \(\triangle ABC\) являются равнобедренными.
2) Рассмотрим \(\triangle A_1CB\):
— Так как \(\triangle A_1CB\) равнобедренный, то \(A_1E = B_1E = \frac{A_1B_1}{2}\)
— Также \(CE \parallel A_1B_1\), так как \(\triangle A_1CB\) равнобедренный.
3) Рассмотрим \(\triangle ABC\):
— Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(AF = BF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\)
— Также \(CF \perp AB\), так как \(\triangle ABC\) равнобедренный.
— Найдем длину \(CF\):
\(CF = \sqrt{AC^2 — AF^2} = \sqrt{\frac{3}{4} — \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
4) Рассмотрим призму \(ABCA_1B_1C_1\):
— \(EF \perp AB\)
— \(\angle ECF\) — искомый угол
5) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ECF\):
— \(\tan \angle ECF = \frac{EF}{CF} = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)
Ответ: \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.