ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 8 Атанасян — Подробные Ответы

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CA1B1.

Решение:
1) Отмечаем точки: \(A_1E = B_1E, AF = BF\)
2) В равнобедренном \(\Delta A_1CB\): \(A_1E = B_1E = \frac{A_1B_1}{2}, CE \parallel A_1B_1\)
3) В равнобедренном \(\Delta ABC\): \(AF = BF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}, CF \perp AB\)
\(CF = \sqrt{AC^2 — AF^2} = \sqrt{\frac{3}{4} — \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
4) Для призмы \(ABCA_1B_1C_1\): \(EF \perp AB, \angle ECF\) — искомый
5) В прямоугольном \(\Delta ECF\):
\(\tan \angle ECF = \frac{EF}{CF} = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)

Ответ: \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)

Решение:
Дано: \(AA_1 = AB = 1\)
Требуется найти: \(\tan \angle ECF\)

1) Отметим точки на рисунке: \(A_1E = B_1E\) и \(AF = BF\). Это следует из того, что \(\triangle A_1CB\) и \(\triangle ABC\) являются равнобедренными.

2) Рассмотрим \(\triangle A_1CB\):
— Так как \(\triangle A_1CB\) равнобедренный, то \(A_1E = B_1E = \frac{A_1B_1}{2}\)
— Также \(CE \parallel A_1B_1\), так как \(\triangle A_1CB\) равнобедренный.

3) Рассмотрим \(\triangle ABC\):
— Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(AF = BF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\)
— Также \(CF \perp AB\), так как \(\triangle ABC\) равнобедренный.
— Найдем длину \(CF\):
\(CF = \sqrt{AC^2 — AF^2} = \sqrt{\frac{3}{4} — \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

4) Рассмотрим призму \(ABCA_1B_1C_1\):
— \(EF \perp AB\)
— \(\angle ECF\) — искомый угол

5) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ECF\):
— \(\tan \angle ECF = \frac{EF}{CF} = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)

Ответ: \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)