Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 6 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Краткое решение:
1) Отметим точку C2: C2 ∈ CC1; C1C2 = CC1; CC2 = 2.
2) В прямоугольном ΔAC2C:
\(AC2 = \sqrt{AC^2 + CC_2^2} = \sqrt{5}\)
3) В прямоугольном ΔABB1:
\(B_1C_2 = AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{2}\)
4) По теореме косинусов в ΔAB1C2:
\(AC_2^2 = AB^2 + B_1C_2^2 — 2AB_1B_1C_2\cos B_1\)
5) \(\cos B = \frac{5 — 2 — 4\cos B}{4} = 0.25\)
Ответ: 0,25.
Полное пошаговое решение:
Дано: AA1 = AB = 1.
Найти: \(\cos AB_1C_2\).
Решение:
1) На рисунке отмечаем точку C2, которая лежит на продолжении отрезка CC1. Так как AA1 = AB = 1, то C1C2 = CC1, и, следовательно, CC2 = 2.
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAC2C. Используя теорему Пифагора, находим длину стороны AC2:
\(AC_2 = \sqrt{AC^2 + CC_2^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABB1. Используя теорему Пифагора, находим длину стороны B1C2:
\(B_1C_2 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
4) Применим теорему косинусов к треугольнику ΔAB1C2, чтобы найти угол AB1C2:
\(AC_2^2 = AB^2 + B_1C_2^2 — 2AB_1B_1C_2\cos AB_1C_2\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(\sqrt{5}^2 = 1^2 + \sqrt{2}^2 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos AB_1C_2\)
Решая это уравнение, находим:
\(\cos AB_1C_2 = \frac{5 — 2 — 4}{4} = 0.25\)
Ответ: \(\cos AB_1C_2 = 0.25\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.