ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 6 Атанасян — Подробные Ответы

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Краткое решение:

1) Отметим точку C2: C2 ∈ CC1; C1C2 = CC1; CC2 = 2.

2) В прямоугольном ΔAC2C:
\(AC2 = \sqrt{AC^2 + CC_2^2} = \sqrt{5}\)

3) В прямоугольном ΔABB1:
\(B_1C_2 = AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{2}\)

4) По теореме косинусов в ΔAB1C2:
\(AC_2^2 = AB^2 + B_1C_2^2 — 2AB_1B_1C_2\cos B_1\)

5) \(\cos B = \frac{5 — 2 — 4\cos B}{4} = 0.25\)

Ответ: 0,25.

Полное пошаговое решение:

Дано: AA1 = AB = 1.

Найти: \(\cos AB_1C_2\).

Решение:

1) На рисунке отмечаем точку C2, которая лежит на продолжении отрезка CC1. Так как AA1 = AB = 1, то C1C2 = CC1, и, следовательно, CC2 = 2.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAC2C. Используя теорему Пифагора, находим длину стороны AC2:
\(AC_2 = \sqrt{AC^2 + CC_2^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABB1. Используя теорему Пифагора, находим длину стороны B1C2:
\(B_1C_2 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

4) Применим теорему косинусов к треугольнику ΔAB1C2, чтобы найти угол AB1C2:
\(AC_2^2 = AB^2 + B_1C_2^2 — 2AB_1B_1C_2\cos AB_1C_2\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(\sqrt{5}^2 = 1^2 + \sqrt{2}^2 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos AB_1C_2\)
Решая это уравнение, находим:
\(\cos AB_1C_2 = \frac{5 — 2 — 4}{4} = 0.25\)

Ответ: \(\cos AB_1C_2 = 0.25\).