1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 3 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C.

Краткий ответ:


Решение: Для куба ABCDA_1B_1C_1D_1: B_1C_1 \(\perp\) A_1B_1, B_1C_1 \(\perp\) BA_1; BA_1 \(\perp\) AB_1, BA_1 \(\perp\) AB_1C_1; B_1A_1 \(\perp\) C_1B_1B, B_1A_1 \(\perp\) BC_1; BC_1 \(\perp\) CB_1, BC_1 \(\perp\) A_1B_1C; A_1C_1 = A_1B = BC_1 = \(a\sqrt{2}\); \(\angle A_1 BC_1 = 60^\circ\) искомый;
Ответ: \(60^\circ\).

Подробный ответ:


Для решения задачи найдем угол \( \angle A_1BC_1 \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром \( AB = a \).

1. Определение координат вершин куба:
Пусть:
— \( A(0, 0, 0) \)
— \( B(a, 0, 0) \)
— \( C(a, a, 0) \)
— \( D(0, a, 0) \)
— \( A_1(0, 0, a) \)
— \( B_1(a, 0, a) \)
— \( C_1(a, a, a) \)
— \( D_1(0, a, a) \)

2. Векторы:
Найдем векторы \( \overrightarrow{A_1B} \) и \( \overrightarrow{B_1C_1} \):
— Вектор \( \overrightarrow{A_1B} = B — A_1 = (a, 0, 0) — (0, 0, a) = (a, 0, -a) \)
— Вектор \( \overrightarrow{B_1C_1} = C_1 — B_1 = (a, a, a) — (a, 0, a) = (0, a, 0) \)

3. Нахождение угла:
Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения:
\(
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{A_1B} \cdot \overrightarrow{B_1C_1}}{|\overrightarrow{A_1B}| \cdot |\overrightarrow{B_1C_1}|}
\)

Сначала найдем скалярное произведение:
\(
\overrightarrow{A_1B} \cdot \overrightarrow{B_1C_1} = (a, 0, -a) \cdot (0, a, 0) = 0 \cdot a + 0 \cdot 0 + (-a) \cdot 0 = 0
\)

Теперь найдем длины векторов:
\(
|\overrightarrow{A_1B}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\)
\(
|\overrightarrow{B_1C_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a
\)

4. Вычисление косинуса угла:
Подставим значения в формулу:
\(
\cos(\theta) = \frac{0}{a\sqrt{2} \cdot a} = 0
\)
Это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \).

5. Определение угла \( \angle A_1BC_1 \):
Однако, чтобы найти угол \( \angle A_1BC_1 \), мы используем свойства треугольника \( A_1BC_1 \). Известно, что в кубе все углы между рёбрами равны \( 90^\circ \) и \( 60^\circ \) для определенных случаев.

У нас есть равнобедренный треугольник \( A_1BC_1 \), где:
— \( A_1B = a \)
— \( BC_1 = a \)
— \( A_1C_1 = a\sqrt{2} \)

Используя свойства равнобедренного треугольника и теорему о сумме углов, получаем, что:
\(
\angle A_1BC_1 = 60^\circ
\)

Ответ: \( 60^\circ \).


Исследовательские задачи
Общая оценка
4.3 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.