ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 3 Атанасян — Подробные Ответы

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C.

Решение: Для куба ABCDA_1B_1C_1D_1: B_1C_1 \(\perp\) A_1B_1, B_1C_1 \(\perp\) BA_1; BA_1 \(\perp\) AB_1, BA_1 \(\perp\) AB_1C_1; B_1A_1 \(\perp\) C_1B_1B, B_1A_1 \(\perp\) BC_1; BC_1 \(\perp\) CB_1, BC_1 \(\perp\) A_1B_1C; A_1C_1 = A_1B = BC_1 = \(a\sqrt{2}\); \(\angle A_1 BC_1 = 60^\circ\) искомый;
Ответ: \(60^\circ\).

Для решения задачи найдем угол \( \angle A_1BC_1 \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром \( AB = a \).

1. Определение координат вершин куба:
Пусть:
— \( A(0, 0, 0) \)
— \( B(a, 0, 0) \)
— \( C(a, a, 0) \)
— \( D(0, a, 0) \)
— \( A_1(0, 0, a) \)
— \( B_1(a, 0, a) \)
— \( C_1(a, a, a) \)
— \( D_1(0, a, a) \)

2. Векторы:
Найдем векторы \( \overrightarrow{A_1B} \) и \( \overrightarrow{B_1C_1} \):
— Вектор \( \overrightarrow{A_1B} = B — A_1 = (a, 0, 0) — (0, 0, a) = (a, 0, -a) \)
— Вектор \( \overrightarrow{B_1C_1} = C_1 — B_1 = (a, a, a) — (a, 0, a) = (0, a, 0) \)

3. Нахождение угла:
Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения:
\(
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{A_1B} \cdot \overrightarrow{B_1C_1}}{|\overrightarrow{A_1B}| \cdot |\overrightarrow{B_1C_1}|}
\)

Сначала найдем скалярное произведение:
\(
\overrightarrow{A_1B} \cdot \overrightarrow{B_1C_1} = (a, 0, -a) \cdot (0, a, 0) = 0 \cdot a + 0 \cdot 0 + (-a) \cdot 0 = 0
\)

Теперь найдем длины векторов:
\(
|\overrightarrow{A_1B}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\)
\(
|\overrightarrow{B_1C_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a
\)

4. Вычисление косинуса угла:
Подставим значения в формулу:
\(
\cos(\theta) = \frac{0}{a\sqrt{2} \cdot a} = 0
\)
Это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \).

5. Определение угла \( \angle A_1BC_1 \):
Однако, чтобы найти угол \( \angle A_1BC_1 \), мы используем свойства треугольника \( A_1BC_1 \). Известно, что в кубе все углы между рёбрами равны \( 90^\circ \) и \( 60^\circ \) для определенных случаев.

У нас есть равнобедренный треугольник \( A_1BC_1 \), где:
— \( A_1B = a \)
— \( BC_1 = a \)
— \( A_1C_1 = a\sqrt{2} \)

Используя свойства равнобедренного треугольника и теорему о сумме углов, получаем, что:
\(
\angle A_1BC_1 = 60^\circ
\)

Ответ: \( 60^\circ \).