ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 21 Атанасян — Подробные Ответы

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.

Решение:

1) В данном шестиугольнике: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB \cdot BC \cos B\); \(AC^2 = 1 — 2 \cos 120^\circ = 3\); \(AC = \sqrt{3}\)

2) В равнобедренном \(\triangle AFSAh\):
\(SF = SA\), \(AH = FH = \frac{1}{2}\), \(SH \perp AF\);
\(SH = \sqrt{AS^2 — AH^2} = \sqrt{4 — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}}\)

3) В прямоугольном \(\triangle ASHO\):
\(OH = \frac{1}{2} HG = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\angle LO = 90^\circ\);
\(\cos \angle SHO = \frac{OH}{SH} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\frac{15}{4}}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Полное пошаговое решение:

Дано: Шестиугольник SABCDEF, где \(AB = 1\) и \(AS = 2\). Требуется найти \(\cos \angle SHO\).

Шаг 1: Найдем длину стороны \(AC\) шестиугольника.
В шестиугольнике SABCDEF справедливо соотношение:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB \cdot BC \cos B\)
Поскольку \(AB = 1\) и \(\angle B = 120^\circ\), то:
\(AC^2 = 1^2 + BC^2 — 2 \cdot 1 \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\)
Упростим:
\(AC^2 = 1 + BC^2 — 2BC \cdot (-\frac{1}{2})\)
\(AC^2 = 1 + BC^2 + BC\)
Решая квадратное уравнение, получим:
\(AC^2 = 1 — 2 \cos 120^\circ = 3\)
Следовательно, \(AC = \sqrt{3}\).

Шаг 2: Рассмотрим равнобедренный треугольник AFSA.
В треугольнике AFSA:
\(SF = SA\)
\(AH = FH = \frac{1}{2}\)
\(SH \perp AF\)
Найдем длину \(SH\):
\(SH = \sqrt{AS^2 — AH^2} = \sqrt{2^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{15}{4}}\)

Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ASHO.
В треугольнике ASHO:
\(OH = \frac{1}{2} HG = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\angle LO = 90^\circ\)
Найдем \(\cos \angle SHO\):
\(\cos \angle SHO = \frac{OH}{SH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{15}{4}}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)