Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 21 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.
Решение:
1) В данном шестиугольнике: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB \cdot BC \cos B\); \(AC^2 = 1 — 2 \cos 120^\circ = 3\); \(AC = \sqrt{3}\)
2) В равнобедренном \(\triangle AFSAh\):
\(SF = SA\), \(AH = FH = \frac{1}{2}\), \(SH \perp AF\);
\(SH = \sqrt{AS^2 — AH^2} = \sqrt{4 — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}}\)
3) В прямоугольном \(\triangle ASHO\):
\(OH = \frac{1}{2} HG = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\angle LO = 90^\circ\);
\(\cos \angle SHO = \frac{OH}{SH} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\frac{15}{4}}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
Полное пошаговое решение:
Дано: Шестиугольник SABCDEF, где \(AB = 1\) и \(AS = 2\). Требуется найти \(\cos \angle SHO\).
Шаг 1: Найдем длину стороны \(AC\) шестиугольника.
В шестиугольнике SABCDEF справедливо соотношение:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB \cdot BC \cos B\)
Поскольку \(AB = 1\) и \(\angle B = 120^\circ\), то:
\(AC^2 = 1^2 + BC^2 — 2 \cdot 1 \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\)
Упростим:
\(AC^2 = 1 + BC^2 — 2BC \cdot (-\frac{1}{2})\)
\(AC^2 = 1 + BC^2 + BC\)
Решая квадратное уравнение, получим:
\(AC^2 = 1 — 2 \cos 120^\circ = 3\)
Следовательно, \(AC = \sqrt{3}\).
Шаг 2: Рассмотрим равнобедренный треугольник AFSA.
В треугольнике AFSA:
\(SF = SA\)
\(AH = FH = \frac{1}{2}\)
\(SH \perp AF\)
Найдем длину \(SH\):
\(SH = \sqrt{AS^2 — AH^2} = \sqrt{2^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{15}{4}}\)
Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ASHO.
В треугольнике ASHO:
\(OH = \frac{1}{2} HG = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\angle LO = 90^\circ\)
Найдем \(\cos \angle SHO\):
\(\cos \angle SHO = \frac{OH}{SH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{15}{4}}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.