Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 20 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямыми SB и АЕ.
Решение:
1) В данном шестиугольнике: \(BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2BC \cdot CD \cos C\); \(BD^2 = 1 — 2 \cos 120° = 3\); \(BD = \sqrt{3}\)
2) В равнобедренном ΔSBD: \(SB = SD\), \(BH = HD\), \(SH \perp BD\)
3) В прямоугольном ΔASBH: \(\cos SBH = \frac{BH}{SB} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Решение:
Дано:
— Прямоугольный параллелепипед SABCDEF
— AB = 1, AS = 2
Требуется найти: \(\cos \angle SBH\)
Решение:
1) Найдем длину ребра BD. Используем теорему косинусов для треугольника BCD:
\(BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2BC \cdot CD \cos C\)
Так как AB = 1 и AS = 2, то BC = 1 и CD = 2. Также известно, что \(\angle C = 120°\), поэтому \(\cos C = -\frac{1}{2}\).
Подставляя значения, получаем:
\(BD^2 = 1^2 + 2^2 — 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 4 + 2 = 7\)
Следовательно, \(BD = \sqrt{7}\).
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ASB. Так как AS = 2 и AB = 1, то \(\sin \angle ASB = \frac{1}{2}\) и \(\cos \angle ASB = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник SBH. Так как SB = SD и BH = HD, то \(\angle SBH\) является прямым углом. Следовательно, \(\cos \angle SBH = \frac{BH}{SB}\).
4) Найдем длину BH. Так как ΔASB — прямоугольный, то \(BH = AB \cdot \sin \angle ASB = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
5) Найдем длину SB. Так как ΔASB — прямоугольный, то \(SB = AB \cdot \cos \angle ASB = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
6) Подставляя найденные значения, получаем:
\(\cos \angle SBH = \frac{BH}{SB} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.