ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 20 Атанасян — Подробные Ответы

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямыми SB и АЕ.

Решение:
1) В данном шестиугольнике: \(BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2BC \cdot CD \cos C\); \(BD^2 = 1 — 2 \cos 120° = 3\); \(BD = \sqrt{3}\)
2) В равнобедренном ΔSBD: \(SB = SD\), \(BH = HD\), \(SH \perp BD\)
3) В прямоугольном ΔASBH: \(\cos SBH = \frac{BH}{SB} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Решение:

Дано:
— Прямоугольный параллелепипед SABCDEF
— AB = 1, AS = 2

Требуется найти: \(\cos \angle SBH\)

Решение:
1) Найдем длину ребра BD. Используем теорему косинусов для треугольника BCD:
\(BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2BC \cdot CD \cos C\)
Так как AB = 1 и AS = 2, то BC = 1 и CD = 2. Также известно, что \(\angle C = 120°\), поэтому \(\cos C = -\frac{1}{2}\).
Подставляя значения, получаем:
\(BD^2 = 1^2 + 2^2 — 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 4 + 2 = 7\)
Следовательно, \(BD = \sqrt{7}\).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ASB. Так как AS = 2 и AB = 1, то \(\sin \angle ASB = \frac{1}{2}\) и \(\cos \angle ASB = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник SBH. Так как SB = SD и BH = HD, то \(\angle SBH\) является прямым углом. Следовательно, \(\cos \angle SBH = \frac{BH}{SB}\).

4) Найдем длину BH. Так как ΔASB — прямоугольный, то \(BH = AB \cdot \sin \angle ASB = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

5) Найдем длину SB. Так как ΔASB — прямоугольный, то \(SB = AB \cdot \cos \angle ASB = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

6) Подставляя найденные значения, получаем:
\(\cos \angle SBH = \frac{BH}{SB} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)