Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 19 Атанасян — Подробные Ответы
В пирамиде DABC известны длины рёбер: AB= AC= DB= DC= 10, BC = DA = 12. Найдите расстояние между прямыми DA и ВС
Решение:
1) В равнобедренном ΔSAD: AS = SD, AE = DE, SE ⊥ AD;
\(SE = \sqrt{AS^2 — AE^2} = \sqrt{1^2 — \frac{1}{2}^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
2) Для квадрата ABCD:
\(H = AC \cap BD, HE = \frac{1}{2}AB\)
3) В прямоугольном ΔSEH:
\(\cos SEH = \frac{SE}{EH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Рассмотрим задачу подробно:
Дано:
— Прямоугольный треугольник ΔSAD с равными сторонами AD = AS = 1.
— Квадрат ABCD.
Требуется найти значение \(\cos SEH\).
Решение:
1) Сначала найдем длину отрезка SE в треугольнике ΔSAD.
Поскольку AD = AS = 1, то ΔSAD является равнобедренным треугольником.
Тогда \(AS = SD\) и \(AE = DE\), а также \(SE \perp AD\).
Используя теорему Пифагора, можно найти длину SE:
\(SE = \sqrt{AS^2 — AE^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
2) Теперь рассмотрим квадрат ABCD.
Известно, что \(H\) является точкой пересечения диагоналей AC и BD квадрата.
Следовательно, \(H\) является центром квадрата, и \(AH = HB = \frac{1}{2}AB\).
3) Наконец, найдем значение \(\cos SEH\) в прямоугольном треугольнике ΔSEH.
Используя определение косинуса, имеем:
\(\cos SEH = \frac{SE}{EH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.