ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 17 Атанасян — Подробные Ответы

Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 13, АС = 24. Ребро DB перпендикулярно к плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла DACB.

1) В равнобедренном ΔАВС:
\(h = \sqrt{AB^2 — \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 — \left(\frac{4\sqrt{5}}{2}\right)^2} = 4\sqrt{5}\)
2) В равнобедренном ΔАDBC:
\(DC = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{20 + 100} = \sqrt{120}\)
3) Для пирамиды DABC:
\(GE = \frac{1}{2}DC, GF = \frac{1}{2}DB, EF = \frac{1}{2}BC\)
\(AG = \frac{1}{2}AD, AGEF \sim ABCD, AM = \frac{1}{2}AH\)
\(V_{DABC} = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot AD, V_{DABC} = \frac{1}{3}S_{DBC} \cdot AH\)
\(40 \cdot 2\sqrt{5} = 20\sqrt{5} \cdot AH, AH = 4, AM = 2\)
Ответ: 2.

Дано: пирамида ABCD, где DA ⊥ ABC, AB = 10, AD = 2√5, BC = 4√5, AG = GD.

Решение:
1) Найдем высоту пирамиды h в равнобедренном треугольнике ABC:
\(h = \sqrt{AB^2 — \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 — \left(\frac{4\sqrt{5}}{2}\right)^2} = 4\sqrt{5}\)

2) Найдем длину DC в равнобедренном треугольнике ADC:
\(DC = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{20 + 100} = \sqrt{120}\)

3) Найдем длины отрезков в пирамиде DABC:
\(GE = \frac{1}{2}DC, GF = \frac{1}{2}DB, EF = \frac{1}{2}BC\)
\(AG = \frac{1}{2}AD, AGEF \sim ABCD, AM = \frac{1}{2}AH\)

4) Найдем объем пирамиды DABC:
\(V_{DABC} = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot 2\sqrt{5} = \frac{2}{3} \cdot 10 \cdot 4\sqrt{5} = \frac{80}{3}\sqrt{5}\)
\(V_{DABC} = \frac{1}{3}S_{DBC} \cdot AH = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot DB \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{120} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 4 = \frac{80}{3}\sqrt{5}\)

5) Найдем длину AM:
\(40 \cdot 2\sqrt{5} = 20\sqrt{5} \cdot AH, AH = 4, AM = 2\)

Ответ: AM = 2.