ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 12 Атанасян — Подробные Ответы

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и DB1F1.

Решение:
1) В равнобедренном треугольнике \(A_1F_1B_1\): \(F_1B^2 = A_1F^2 + A_1B^2 — 2A_1F_1 \cdot A_1B_1 \cos A_1\), \(F_1B^2 = 1 + 1 — 2 \cos 120° = 3\), \(F_1B_1 = \sqrt{3}\), \(A_1E = \sqrt{(A_1B_1)^2 — (B_1E)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \sqrt{3}\).
2) В равнобедренном треугольнике \(A_1F_1D_1B_1\): \(F_1D = B_1D\), \(F_1E = B_1E\), \(DE \perp F_1B_1\).
3) В верхнем шестиугольнике: \(A_1D_1 = 2R = 2\), \(D_1E = 2 — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).
4) В прямоугольном треугольнике \(L_1E_1D_1\): \(\tan \angle L_1E_1D_1 = \frac{D_1E}{D_1L_1} = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2}\).

Ответ: \(\frac{2}{3}\).

Решение:

Дано: \(AB = BB_1 = 1\)

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник \(A_1F_1B_1\):
— Так как \(AB = BB_1\), то \(A_1F_1 = A_1B_1\)
— Так как \(A_1F_1 = A_1B_1\), то \(F_1E = B_1E\)
— Так как \(A_1F_1\) перпендикулярна \(F_1B_1\), то \(A_1E \perp F_1B_1\)
— Найдем длину \(F_1B_1\):
\(F_1B^2 = A_1F^2 + A_1B^2 — 2A_1F_1 \cdot A_1B_1 \cos A_1\)
\(F_1B^2 = 1 + 1 — 2 \cos 120° = 3\)
\(F_1B_1 = \sqrt{3}\)
— Найдем длину \(A_1E\):
\(A_1E = \sqrt{(A_1B_1)^2 — (B_1E)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \sqrt{3}\)

2) Рассмотрим равнобедренный треугольник \(A_1F_1D_1B_1\):
— \(F_1D = B_1D\)
— \(F_1E = B_1E\)
— \(DE \perp F_1B_1\)

3) Рассмотрим верхний шестиугольник:
— \(A_1D_1 = 2R = 2\)
— \(D_1E = 2 — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(L_1E_1D_1\):
— \(\tan \angle L_1E_1D_1 = \frac{D_1E}{D_1L_1} = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2}\)

Ответ: \(\frac{2}{3}\)