Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 11 Атанасян — Подробные Ответы
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB=5, AD = 33. Найдите тангенс угла между плоскостью AA1D1 и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно \(\sqrt{3}\)
Решение:
1) Для заданной призмы: \(A_1B_1 \angle AA_1D_1, \angle A_1B_1D = a\)
2) В прямоугольном \(\triangle AA_1D_1\): \(A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2 = 3 + 33 = 36 = 6^2, A_1D = 6\)
3) В прямоугольном \(\triangle A_1B_1D\): \(A_1B_1 = 5, \tan \angle B_1 = \frac{A_1D}{A_1B_1} = \frac{6}{5}\)
Ответ: \(\frac{6}{5}\).
Решение:
Дано:
— Длина стороны основания призмы \(AB = 5\)
— Длина диагонали призмы \(AD = \sqrt{33}\)
— Высота призмы \(AA_1 = \sqrt{3}\)
Шаг 1. Найдем угол \(\angle A_1B_1D\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1B_1D\).
Используем теорему Пифагора для вычисления длины стороны \(A_1D\):
\(A_1D^2 = AB^2 + AD^2 = 5^2 + 33 = 58\)
Следовательно, \(A_1D = \sqrt{58}\).
Тогда \(\tan \angle A_1B_1D = \frac{A_1D}{A_1B_1} = \frac{\sqrt{58}}{5}\).
Шаг 2. Найдем угол \(\angle A_1B_1D\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1B_1D\).
Используя обратную тригонометрическую функцию \(\arctan\), получаем:
\(\angle A_1B_1D = \arctan\left(\frac{\sqrt{58}}{5}\right) = a\)
Шаг 3. Найдем длину стороны \(A_1B_1\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1B_1D\).
Используя теорему косинусов:
\(A_1B_1^2 = A_1D^2 + AB^2 — 2 \cdot A_1D \cdot AB \cdot \cos \angle A_1B_1D\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(A_1B_1^2 = 58 + 25 — 2 \cdot \sqrt{58} \cdot 5 \cdot \cos a\)
Следовательно, \(A_1B_1 = 5\).
Шаг 4. Найдем тангенс угла \(\angle B_1\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1B_1D\).
Используя определение тангенса:
\(\tan \angle B_1 = \frac{A_1D}{A_1B_1} = \frac{\sqrt{58}}{5}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{58}}{5}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.