ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 14 Номер 11 Атанасян — Подробные Ответы

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB=5, AD = 33. Найдите тангенс угла между плоскостью AA1D1 и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно \(\sqrt{3}\)

Решение:
1) Для заданной призмы: \(A_1B_1 \angle AA_1D_1, \angle A_1B_1D = a\)
2) В прямоугольном \(\triangle AA_1D_1\): \(A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2 = 3 + 33 = 36 = 6^2, A_1D = 6\)
3) В прямоугольном \(\triangle A_1B_1D\): \(A_1B_1 = 5, \tan \angle B_1 = \frac{A_1D}{A_1B_1} = \frac{6}{5}\)
Ответ: \(\frac{6}{5}\).

Решение:

Дано:
— Длина стороны основания призмы \(AB = 5\)
— Длина диагонали призмы \(AD = \sqrt{33}\)
— Высота призмы \(AA_1 = \sqrt{3}\)

Шаг 1. Найдем угол \(\angle A_1B_1D\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1B_1D\).
Используем теорему Пифагора для вычисления длины стороны \(A_1D\):
\(A_1D^2 = AB^2 + AD^2 = 5^2 + 33 = 58\)
Следовательно, \(A_1D = \sqrt{58}\).
Тогда \(\tan \angle A_1B_1D = \frac{A_1D}{A_1B_1} = \frac{\sqrt{58}}{5}\).

Шаг 2. Найдем угол \(\angle A_1B_1D\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1B_1D\).
Используя обратную тригонометрическую функцию \(\arctan\), получаем:
\(\angle A_1B_1D = \arctan\left(\frac{\sqrt{58}}{5}\right) = a\)

Шаг 3. Найдем длину стороны \(A_1B_1\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1B_1D\).
Используя теорему косинусов:
\(A_1B_1^2 = A_1D^2 + AB^2 — 2 \cdot A_1D \cdot AB \cdot \cos \angle A_1B_1D\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(A_1B_1^2 = 58 + 25 — 2 \cdot \sqrt{58} \cdot 5 \cdot \cos a\)
Следовательно, \(A_1B_1 = 5\).

Шаг 4. Найдем тангенс угла \(\angle B_1\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1B_1D\).
Используя определение тангенса:
\(\tan \angle B_1 = \frac{A_1D}{A_1B_1} = \frac{\sqrt{58}}{5}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{58}}{5}\).