ГДЗ по Геометрии 11 класс Задачи с практическим содержанием Номер 22 Атанасян — Подробные Ответы

При каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной ёмкости будет наименьшим? Другими словами, найдите размеры цилиндра данного объёма \(V\), площадь поверхности которого наименьшая.

Объем цилиндра:
\(V = \pi R^2 h; h = \frac{V}{\pi R^2}\)
Площадь цилиндра:
\(S(R) = 2\pi R^2 + 2\pi Rh; S(R) = 2\pi R^2 + \frac{2V}{R}\)
Точка минимума:
\(S’ = 4\pi R — \frac{2V}{R^2} \geq 0\)
\(4\pi R = \frac{2V}{R^2}\)
\(R^3 = \frac{V}{2\pi}\)
\(R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)
\(h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}\)
Ответ: \(R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}; h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}\)

Дано:
Объем цилиндра определяется формулой: \(V = \pi R^2 h\), где \(R\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра определяется формулой: \(S(R) = 2\pi R^2 + 2\pi Rh\), где \(R\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.

Для нахождения радиуса \(R\) и высоты \(h\) цилиндра при заданном объеме \(V\) необходимо решить систему уравнений:
1) \(V = \pi R^2 h\)
2) \(S(R) = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 2\pi R^2 + 2\pi R\left(\frac{V}{\pi R^2}\right) = 2\pi R^2 + \frac{2V}{R}\)

Решая первое уравнение относительно \(h\), получаем: \(h = \frac{V}{\pi R^2}\)

Подставляя выражение для \(h\) во второе уравнение, получаем:
\(S(R) = 2\pi R^2 + \frac{2V}{R}\)

Находим минимум функции \(S(R)\) по \(R\):
\(\frac{dS(R)}{dR} = 4\pi R — \frac{2V}{R^2} = 0\)
\(4\pi R = \frac{2V}{R^2}\)
\(R^3 = \frac{V}{2\pi}\)
\(R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)

Подставляя найденное значение \(R\) в выражение для \(h\), получаем:
\(h = \frac{V}{\pi R^2} = \frac{V}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2} = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}\)

Ответ: \(R = \sqrt[3]{\frac{3V}{2\pi}}; h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}\)