ГДЗ по Геометрии 11 класс Ответы на вопросы к главе 7 Атанасян — Подробные Ответы

1 Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если: а) одна её координата равна нулю; б) две её координаты равны нулю?

2 Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.

3 Даны точки А (2; 4; 5), В(3; x; y), C(0; 4; z) и D(5; t; u). При каких значениях x, y, z, t и u эти точки лежат: а) в плоскости, параллельной плоскости Оху; б) в плоскости, параллельной плоскости Oxz; в) на прямой, параллельной оси Ох?

4 Найдите координаты вектора СА, если АВ \((x_1; y_1; z_1)\), ВС \((x_2; y_2; z_2)\).

5 Первая и вторая координаты ненулевого вектора \(a\) равны нулю. Как расположен вектор \(a\) по отношению к оси: а) Oz; б) Ox; в) Oy?

6 Первая координата ненулевого вектора \(a\) равна нулю. Как расположен вектор \(a\) по отношению: а) к плоскости Oxz; б) к оси Ox?

7 Коллинеарны ли векторы: а) \(\vec{a} (-5; 3; -1)\) и \(\vec{b} (6; -10; -2)\); б) \(\vec{a} (-2; 3; 7)\) и \(\vec{b} (-1; 1.5; 3.5)\)?

8 Длина радиус-вектора точки \(M\) равна 1. Может ли абсцисса точки \(M\) равняться: а) 1; б) 2?

9 Длина вектора \(\vec{a}\) равна 3. Может ли одна из координат вектора \(\vec{a}\) равняться: а) 3; б) 5?

10 Абсцисса точки \(M_1\) равна 3, а абсцисса точки \(M_2\) равна 6. а) Может ли длина отрезка \(M_1M_2\) быть равной 2? б) Как расположен отрезок \(M_1M_2\) по отношению к оси Ох, если его длина равна 3?

11 Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеют длины \(a\) и \(b\). Чему равно скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если: а) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены; б) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) противоположно направлены; в) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны; г) угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 60°; д) угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 120°?

12 При каком условии скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?

13 Дан куб ABCDA B1C1D1. Перпендикулярны ли векторы: а) AD и D1C1; б) BD и CC1; в) A1C1 и AD; г) DB и D1C; д) BB и AC?

14 Первые координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны соответственно 1 и 2. Может ли скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) быть: а) меньше 2; б) равно 2; в) больше 2?

15 Какие координаты имеет точка А, если при центральной симметрии с центром А точка В (1; 0; 2) переходит в точку С(2; -1; 4)?

16 Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М (2; 1; 3) переходит в точку М1 (2; -2; 3)?

17 В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?

1. а) Если одна координата равна нулю, то точка лежит на соответствующей плоскости. Например, если \(x = 0\), то точка лежит на плоскости \(Oyz\). б) Если две координаты равны нулю, точка находится на оси, соответствующей оставшейся координате. Например, если \(x = 0\) и \(y = 0\), то точка лежит на оси \(Oz\).

2. Все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости \(Oxy\), имеют одну и ту же аппликату, поскольку их координаты \(z\) одинаковы, а \(x\) и \(y\) могут изменяться, не влияя на положение относительно оси \(z\).

3. а) Точки лежат в плоскости, параллельной плоскости \(Oxy\), если \(z = 0\) для всех точек. Это значит, что \(z = 0\) для точки \(C\) и \(u = 0\) для точки \(D\). б) Для плоскости, параллельной \(Oxz\), \(y = 0\) для всех точек, т.е. \(y = 0\) для точки \(B\). в) Для прямой, параллельной оси \(Ox\), \(y\) и \(z\) должны быть одинаковыми, т.е. \(y = k\) и \(z = m\) для некоторых \(k\) и \(m\).

4. Координаты вектора \(CA\) равны \(C — A = (0 — 2; 4 — 4; z — 5) = (-2; 0; z — 5)\).

5. а) Если первая и вторая координаты вектора \(a\) равны нулю, то вектор \(a\) лежит на оси \(Oz\). б) Вектор \(a\) перпендикулярен оси \(Ox\). в) Вектор \(a\) не может быть параллелен оси \(Oy\).

6. а) Вектор \(a\) перпендикулярен плоскости \(Oxz\). б) Вектор \(a\) лежит на плоскости \(Oxz\) и не пересекает ось \(Ox\).

7. а) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, так как \(\vec{b} = -\frac{6}{5} \vec{a}\). б) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, так как \(\vec{b} \neq k \vec{a}\) для любого \(k\).

8. а) Абсцисса точки \(M\) может равняться 1, так как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\). б) Абсцисса не может равняться 2, так как \(\sqrt{2^2 + y^2 + z^2} = 1\) не имеет решений.

9. а) Одна из координат вектора \(\vec{a}\) может равняться 3, если другие координаты равны 0. б) Не может, так как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 3\) не может иметь координат, превышающих 3.

10. а) Длина отрезка \(M_1M_2\) не может быть равной 2, так как \(6 — 3 = 3\). б) Если длина равна 3, то отрезок расположен справа от оси \(Ox\).

11. а) Скалярное произведение равно \(ab\), если векторы сонаправлены. б) Скалярное произведение равно \(-ab\), если векторы противоположно направлены. в) Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны. г) Скалярное произведение равно \(\frac{ab}{2}\), если угол 60°. д) Скалярное произведение равно \(-\frac{ab}{2}\), если угол 120°.

12. а) Скалярное произведение положительно, если угол между векторами меньше 90°. б) Отрицательно, если угол больше 90°. в) Равно нулю, если векторы перпендикулярны.

13. а) Векторы \(AD\) и \(D_1C_1\) перпендикулярны. б) Векторы \(BD\) и \(C_1C\) не перпендикулярны. в) Векторы \(A_1C_1\) и \(AD\) не перпендикулярны. г) Векторы \(DB\) и \(D_1C\) перпендикулярны. д) Векторы \(BB\) и \(AC\) не перпендикулярны.

14. а) Скалярное произведение может быть меньше 2, если угол между векторами больше 0°. б) Скалярное произведение может быть равно 2, если векторы сонаправлены. в) Скалярное произведение может быть больше 2, если угол меньше 90°.

15. Координаты точки \(A\) равны \((0; 1; 1)\), так как при центральной симметрии \(B\) переходит в \(C\).

16. Плоскость расположена параллельно оси \(Oz\) и перпендикулярно оси \(Ox\).

17. Правая перчатка переходит в левую при зеркальной симметрии, остается той же при осевой симметрии и меняется на противоположную при центральной симметрии.

1. а) Если одна координата равна нулю, это означает, что точка находится на плоскости, которая определяется двумя оставшимися координатами. Например, если \(x = 0\), то точка лежит на плоскости \(Oyz\), где остаются координаты \(y\) и \(z\). Это значит, что любые значения \(y\) и \(z\) могут принимать, но \(x\) всегда будет равен нулю.

б) Если две координаты равны нулю, точка находится на оси, соответствующей оставшейся координате. Например, если \(x = 0\) и \(y = 0\), то точка лежит на оси \(Oz\). Это значит, что координата \(z\) может принимать любое значение, в то время как \(x\) и \(y\) остаются нулевыми.

2. Все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости \(Oxy\), имеют одну и ту же аппликату, потому что их координаты \(z\) одинаковы. Это происходит потому, что плоскость \(Oxy\) определяется значениями \(x\) и \(y\), а изменение \(x\) и \(y\) не влияет на координату \(z\). Таким образом, для всех точек на этой прямой значение \(z\) будет постоянным.

3. а) Чтобы точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежали в плоскости, параллельной плоскости \(Oxy\), необходимо, чтобы \(z = 0\) для всех точек. Это означает, что для точки \(C\) должно выполняться условие \(z = 0\), а для точки \(D\) должно быть \(u = 0\).

б) Для того чтобы точки лежали в плоскости, параллельной плоскости \(Oxz\), необходимо, чтобы \(y = 0\) для всех точек. Это значит, что для точки \(B\) должно выполняться условие \(y = 0\).

в) Чтобы точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежали на прямой, параллельной оси \(Ox\), необходимо, чтобы их координаты \(y\) и \(z\) были одинаковыми для всех точек. Это означает, что \(y\) и \(z\) должны быть постоянными значениями для всех точек, например, \(y = k\) и \(z = m\) для некоторых \(k\) и \(m\).

4. Для нахождения координат вектора \(CA\) мы используем координаты точек \(C\) и \(A\). Вектор \(CA\) определяется как разность координат: \(C — A = (0 — 2; 4 — 4; z — 5) = (-2; 0; z — 5)\). Это означает, что вектор \(CA\) указывает от точки \(C\) к точке \(A\) и имеет координаты \((-2; 0; z — 5)\).

5. а) Если первая и вторая координаты вектора \(a\) равны нулю, это означает, что вектор \(a\) лежит на оси \(Oz\). Вектор, который имеет ненулевую третью координату, направлен вдоль оси \(Oz\).

б) Вектор \(a\) перпендикулярен оси \(Ox\), так как его проекции на оси \(x\) и \(y\) равны нулю. Это означает, что вектор не изменяется вдоль оси \(Ox\).

в) Вектор \(a\) не может быть параллелен оси \(Oy\), так как он не имеет компонент вдоль осей \(x\) и \(y\). Он направлен только вдоль оси \(Oz\).

6. а) Если первая координата вектора \(a\) равна нулю, это означает, что вектор перпендикулярен плоскости \(Oxz\). Это происходит потому, что вектор не имеет проекции на ось \(x\).

б) Вектор \(a\) лежит на плоскости \(Oxz\) и не пересекает ось \(Ox\), поскольку его проекция на ось \(x\) равна нулю, а значит, он не может быть направлен в сторону оси \(Ox\).

7. а) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, если существует такое число \(k\), что \(\vec{b} = k \vec{a}\). В данном случае \(\vec{b} = -\frac{6}{5} \vec{a}\), что подтверждает их коллинеарность.

б) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, если не существует такого числа \(k\), чтобы \(\vec{b} = k \vec{a}\). В данном случае это верно, так как \(\vec{b}\) не может быть выражен как кратное значение \(\vec{a}\).

8. а) Абсцисса точки \(M\) может равняться 1, так как длина радиус-вектора определяется как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Если \(x = 1\), то \(y\) и \(z\) могут быть нулевыми, что дает нам радиус-вектор длиной 1.

б) Абсцисса не может равняться 2, поскольку тогда \(\sqrt{2^2 + y^2 + z^2} = 1\) не имеет решений, так как \(2^2\) уже превышает 1.

9. а) Одна из координат вектора \(\vec{a}\) может равняться 3, если другие координаты равны 0. Это возможно, если, например, вектор \( \vec{a} = (3; 0; 0) \).

б) Одна из координат не может равняться 5, так как длина вектора определяется как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 3\), и если одна из координат равна 5, это невозможно.

10. а) Длина отрезка \(M_1M_2\) не может быть равной 2, так как расстояние между абсциссами \(M_1\) и \(M_2\) равно \(6 — 3 = 3\). Таким образом, длина отрезка всегда будет равна 3.

б) Если длина равна 3, то отрезок расположен справа от оси \(Ox\), поскольку \(M_1\) имеет абсциссу 3, а \(M_2\) — 6, что указывает на то, что \(M_2\) находится правее \(M_1\).

11. а) Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно \(ab\), если векторы сонаправлены. Это происходит, когда угол между ними равен 0°.

б) Скалярное произведение равно \(-ab\), если векторы противоположно направлены, что происходит при угле 180°.

в) Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны, то есть угол между ними равен 90°.

г) Если угол между векторами равен 60°, то скалярное произведение равно \(ab \cdot \cos(60°) = \frac{ab}{2}\).

д) Если угол равен 120°, то скалярное произведение будет равно \(ab \cdot \cos(120°) = -\frac{ab}{2}\).

12. а) Скалярное произведение положительно, если угол между векторами меньше 90°, то есть \(\cos(\theta) > 0\).

б) Скалярное произведение отрицательно, если угол больше 90°, то есть \(\cos(\theta) < 0\). в) Скалярное произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны, то есть \(\theta = 90°\). 13. а) Векторы \(AD\) и \(D_1C_1\) перпендикулярны, так как они направлены в разные плоскости. б) Векторы \(BD\) и \(C_1C\) не перпендикулярны, поскольку они находятся в одной плоскости. в) Векторы \(A_1C_1\) и \(AD\) не перпендикулярны, так как они имеют общую плоскость. г) Векторы \(DB\) и \(D_1C\) перпендикулярны, так как они направлены в разные оси. д) Векторы \(BB\) и \(AC\) не перпендикулярны, так как они имеют общую проекцию. 14. а) Скалярное произведение может быть меньше 2, если угол между векторами больше 0°. б) Скалярное произведение может быть равно 2, если векторы сонаправлены, то есть угол равен 0°. в) Скалярное произведение может быть больше 2, если угол между векторами меньше 90°. 15. Координаты точки \(A\) равны \((0; 1; 1)\), так как при центральной симметрии точка \(B\) переходит в точку \(C\). Это означает, что координаты \(A\) должны быть такими, чтобы \(B\) и \(C\) находились на одной линии. 16. Плоскость расположена параллельно оси \(Oz\) и перпендикулярно оси \(Ox\), так как отражение точки \(M\) относительно этой плоскости изменяет только координату \(y\). 17. Правая перчатка переходит в левую при зеркальной симметрии, так как зеркальное отражение меняет стороны. При осевой симметрии перчатка остается той же, а при центральной симметрии происходит полное изменение направления.