Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Ответы на вопросы к главе 7 Атанасян — Подробные Ответы
1 Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если: а) одна её координата равна нулю; б) две её координаты равны нулю?
2 Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.
3 Даны точки А (2; 4; 5), В(3; x; y), C(0; 4; z) и D(5; t; u). При каких значениях x, y, z, t и u эти точки лежат: а) в плоскости, параллельной плоскости Оху; б) в плоскости, параллельной плоскости Oxz; в) на прямой, параллельной оси Ох?
4 Найдите координаты вектора СА, если АВ \((x_1; y_1; z_1)\), ВС \((x_2; y_2; z_2)\).
5 Первая и вторая координаты ненулевого вектора \(a\) равны нулю. Как расположен вектор \(a\) по отношению к оси: а) Oz; б) Ox; в) Oy?
6 Первая координата ненулевого вектора \(a\) равна нулю. Как расположен вектор \(a\) по отношению: а) к плоскости Oxz; б) к оси Ox?
7 Коллинеарны ли векторы: а) \(\vec{a} (-5; 3; -1)\) и \(\vec{b} (6; -10; -2)\); б) \(\vec{a} (-2; 3; 7)\) и \(\vec{b} (-1; 1.5; 3.5)\)?
8 Длина радиус-вектора точки \(M\) равна 1. Может ли абсцисса точки \(M\) равняться: а) 1; б) 2?
9 Длина вектора \(\vec{a}\) равна 3. Может ли одна из координат вектора \(\vec{a}\) равняться: а) 3; б) 5?
10 Абсцисса точки \(M_1\) равна 3, а абсцисса точки \(M_2\) равна 6. а) Может ли длина отрезка \(M_1M_2\) быть равной 2? б) Как расположен отрезок \(M_1M_2\) по отношению к оси Ох, если его длина равна 3?
11 Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеют длины \(a\) и \(b\). Чему равно скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если: а) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены; б) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) противоположно направлены; в) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны; г) угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 60°; д) угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 120°?
12 При каком условии скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?
13 Дан куб ABCDA B1C1D1. Перпендикулярны ли векторы: а) AD и D1C1; б) BD и CC1; в) A1C1 и AD; г) DB и D1C; д) BB и AC?
14 Первые координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны соответственно 1 и 2. Может ли скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) быть: а) меньше 2; б) равно 2; в) больше 2?
15 Какие координаты имеет точка А, если при центральной симметрии с центром А точка В (1; 0; 2) переходит в точку С(2; -1; 4)?
16 Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М (2; 1; 3) переходит в точку М1 (2; -2; 3)?
17 В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?
1. а) Если одна координата равна нулю, то точка лежит на соответствующей плоскости. Например, если \(x = 0\), то точка лежит на плоскости \(Oyz\). б) Если две координаты равны нулю, точка находится на оси, соответствующей оставшейся координате. Например, если \(x = 0\) и \(y = 0\), то точка лежит на оси \(Oz\).
2. Все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости \(Oxy\), имеют одну и ту же аппликату, поскольку их координаты \(z\) одинаковы, а \(x\) и \(y\) могут изменяться, не влияя на положение относительно оси \(z\).
3. а) Точки лежат в плоскости, параллельной плоскости \(Oxy\), если \(z = 0\) для всех точек. Это значит, что \(z = 0\) для точки \(C\) и \(u = 0\) для точки \(D\). б) Для плоскости, параллельной \(Oxz\), \(y = 0\) для всех точек, т.е. \(y = 0\) для точки \(B\). в) Для прямой, параллельной оси \(Ox\), \(y\) и \(z\) должны быть одинаковыми, т.е. \(y = k\) и \(z = m\) для некоторых \(k\) и \(m\).
4. Координаты вектора \(CA\) равны \(C — A = (0 — 2; 4 — 4; z — 5) = (-2; 0; z — 5)\).
5. а) Если первая и вторая координаты вектора \(a\) равны нулю, то вектор \(a\) лежит на оси \(Oz\). б) Вектор \(a\) перпендикулярен оси \(Ox\). в) Вектор \(a\) не может быть параллелен оси \(Oy\).
6. а) Вектор \(a\) перпендикулярен плоскости \(Oxz\). б) Вектор \(a\) лежит на плоскости \(Oxz\) и не пересекает ось \(Ox\).
7. а) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, так как \(\vec{b} = -\frac{6}{5} \vec{a}\). б) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, так как \(\vec{b} \neq k \vec{a}\) для любого \(k\).
8. а) Абсцисса точки \(M\) может равняться 1, так как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\). б) Абсцисса не может равняться 2, так как \(\sqrt{2^2 + y^2 + z^2} = 1\) не имеет решений.
9. а) Одна из координат вектора \(\vec{a}\) может равняться 3, если другие координаты равны 0. б) Не может, так как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 3\) не может иметь координат, превышающих 3.
10. а) Длина отрезка \(M_1M_2\) не может быть равной 2, так как \(6 — 3 = 3\). б) Если длина равна 3, то отрезок расположен справа от оси \(Ox\).
11. а) Скалярное произведение равно \(ab\), если векторы сонаправлены. б) Скалярное произведение равно \(-ab\), если векторы противоположно направлены. в) Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны. г) Скалярное произведение равно \(\frac{ab}{2}\), если угол 60°. д) Скалярное произведение равно \(-\frac{ab}{2}\), если угол 120°.
12. а) Скалярное произведение положительно, если угол между векторами меньше 90°. б) Отрицательно, если угол больше 90°. в) Равно нулю, если векторы перпендикулярны.
13. а) Векторы \(AD\) и \(D_1C_1\) перпендикулярны. б) Векторы \(BD\) и \(C_1C\) не перпендикулярны. в) Векторы \(A_1C_1\) и \(AD\) не перпендикулярны. г) Векторы \(DB\) и \(D_1C\) перпендикулярны. д) Векторы \(BB\) и \(AC\) не перпендикулярны.
14. а) Скалярное произведение может быть меньше 2, если угол между векторами больше 0°. б) Скалярное произведение может быть равно 2, если векторы сонаправлены. в) Скалярное произведение может быть больше 2, если угол меньше 90°.
15. Координаты точки \(A\) равны \((0; 1; 1)\), так как при центральной симметрии \(B\) переходит в \(C\).
16. Плоскость расположена параллельно оси \(Oz\) и перпендикулярно оси \(Ox\).
17. Правая перчатка переходит в левую при зеркальной симметрии, остается той же при осевой симметрии и меняется на противоположную при центральной симметрии.
1. а) Если одна координата равна нулю, это означает, что точка находится на плоскости, которая определяется двумя оставшимися координатами. Например, если \(x = 0\), то точка лежит на плоскости \(Oyz\), где остаются координаты \(y\) и \(z\). Это значит, что любые значения \(y\) и \(z\) могут принимать, но \(x\) всегда будет равен нулю.
б) Если две координаты равны нулю, точка находится на оси, соответствующей оставшейся координате. Например, если \(x = 0\) и \(y = 0\), то точка лежит на оси \(Oz\). Это значит, что координата \(z\) может принимать любое значение, в то время как \(x\) и \(y\) остаются нулевыми.
2. Все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости \(Oxy\), имеют одну и ту же аппликату, потому что их координаты \(z\) одинаковы. Это происходит потому, что плоскость \(Oxy\) определяется значениями \(x\) и \(y\), а изменение \(x\) и \(y\) не влияет на координату \(z\). Таким образом, для всех точек на этой прямой значение \(z\) будет постоянным.
3. а) Чтобы точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежали в плоскости, параллельной плоскости \(Oxy\), необходимо, чтобы \(z = 0\) для всех точек. Это означает, что для точки \(C\) должно выполняться условие \(z = 0\), а для точки \(D\) должно быть \(u = 0\).
б) Для того чтобы точки лежали в плоскости, параллельной плоскости \(Oxz\), необходимо, чтобы \(y = 0\) для всех точек. Это значит, что для точки \(B\) должно выполняться условие \(y = 0\).
в) Чтобы точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежали на прямой, параллельной оси \(Ox\), необходимо, чтобы их координаты \(y\) и \(z\) были одинаковыми для всех точек. Это означает, что \(y\) и \(z\) должны быть постоянными значениями для всех точек, например, \(y = k\) и \(z = m\) для некоторых \(k\) и \(m\).
4. Для нахождения координат вектора \(CA\) мы используем координаты точек \(C\) и \(A\). Вектор \(CA\) определяется как разность координат: \(C — A = (0 — 2; 4 — 4; z — 5) = (-2; 0; z — 5)\). Это означает, что вектор \(CA\) указывает от точки \(C\) к точке \(A\) и имеет координаты \((-2; 0; z — 5)\).
5. а) Если первая и вторая координаты вектора \(a\) равны нулю, это означает, что вектор \(a\) лежит на оси \(Oz\). Вектор, который имеет ненулевую третью координату, направлен вдоль оси \(Oz\).
б) Вектор \(a\) перпендикулярен оси \(Ox\), так как его проекции на оси \(x\) и \(y\) равны нулю. Это означает, что вектор не изменяется вдоль оси \(Ox\).
в) Вектор \(a\) не может быть параллелен оси \(Oy\), так как он не имеет компонент вдоль осей \(x\) и \(y\). Он направлен только вдоль оси \(Oz\).
6. а) Если первая координата вектора \(a\) равна нулю, это означает, что вектор перпендикулярен плоскости \(Oxz\). Это происходит потому, что вектор не имеет проекции на ось \(x\).
б) Вектор \(a\) лежит на плоскости \(Oxz\) и не пересекает ось \(Ox\), поскольку его проекция на ось \(x\) равна нулю, а значит, он не может быть направлен в сторону оси \(Ox\).
7. а) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, если существует такое число \(k\), что \(\vec{b} = k \vec{a}\). В данном случае \(\vec{b} = -\frac{6}{5} \vec{a}\), что подтверждает их коллинеарность.
б) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, если не существует такого числа \(k\), чтобы \(\vec{b} = k \vec{a}\). В данном случае это верно, так как \(\vec{b}\) не может быть выражен как кратное значение \(\vec{a}\).
8. а) Абсцисса точки \(M\) может равняться 1, так как длина радиус-вектора определяется как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Если \(x = 1\), то \(y\) и \(z\) могут быть нулевыми, что дает нам радиус-вектор длиной 1.
б) Абсцисса не может равняться 2, поскольку тогда \(\sqrt{2^2 + y^2 + z^2} = 1\) не имеет решений, так как \(2^2\) уже превышает 1.
9. а) Одна из координат вектора \(\vec{a}\) может равняться 3, если другие координаты равны 0. Это возможно, если, например, вектор \( \vec{a} = (3; 0; 0) \).
б) Одна из координат не может равняться 5, так как длина вектора определяется как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 3\), и если одна из координат равна 5, это невозможно.
10. а) Длина отрезка \(M_1M_2\) не может быть равной 2, так как расстояние между абсциссами \(M_1\) и \(M_2\) равно \(6 — 3 = 3\). Таким образом, длина отрезка всегда будет равна 3.
б) Если длина равна 3, то отрезок расположен справа от оси \(Ox\), поскольку \(M_1\) имеет абсциссу 3, а \(M_2\) — 6, что указывает на то, что \(M_2\) находится правее \(M_1\).
11. а) Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно \(ab\), если векторы сонаправлены. Это происходит, когда угол между ними равен 0°.
б) Скалярное произведение равно \(-ab\), если векторы противоположно направлены, что происходит при угле 180°.
в) Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны, то есть угол между ними равен 90°.
г) Если угол между векторами равен 60°, то скалярное произведение равно \(ab \cdot \cos(60°) = \frac{ab}{2}\).
д) Если угол равен 120°, то скалярное произведение будет равно \(ab \cdot \cos(120°) = -\frac{ab}{2}\).
12. а) Скалярное произведение положительно, если угол между векторами меньше 90°, то есть \(\cos(\theta) > 0\).
б) Скалярное произведение отрицательно, если угол больше 90°, то есть \(\cos(\theta) < 0\). в) Скалярное произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны, то есть \(\theta = 90°\). 13. а) Векторы \(AD\) и \(D_1C_1\) перпендикулярны, так как они направлены в разные плоскости. б) Векторы \(BD\) и \(C_1C\) не перпендикулярны, поскольку они находятся в одной плоскости. в) Векторы \(A_1C_1\) и \(AD\) не перпендикулярны, так как они имеют общую плоскость. г) Векторы \(DB\) и \(D_1C\) перпендикулярны, так как они направлены в разные оси. д) Векторы \(BB\) и \(AC\) не перпендикулярны, так как они имеют общую проекцию. 14. а) Скалярное произведение может быть меньше 2, если угол между векторами больше 0°. б) Скалярное произведение может быть равно 2, если векторы сонаправлены, то есть угол равен 0°. в) Скалярное произведение может быть больше 2, если угол между векторами меньше 90°. 15. Координаты точки \(A\) равны \((0; 1; 1)\), так как при центральной симметрии точка \(B\) переходит в точку \(C\). Это означает, что координаты \(A\) должны быть такими, чтобы \(B\) и \(C\) находились на одной линии. 16. Плоскость расположена параллельно оси \(Oz\) и перпендикулярно оси \(Ox\), так как отражение точки \(M\) относительно этой плоскости изменяет только координату \(y\). 17. Правая перчатка переходит в левую при зеркальной симметрии, так как зеркальное отражение меняет стороны. При осевой симметрии перчатка остается той же, а при центральной симметрии происходит полное изменение направления.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.