Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Ответы на вопросы к главе 6 Атанасян — Подробные Ответы
1 Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\), \(\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{c}\), то \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{c}\); е) существуют векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) такие, что \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) не коллинеарны, \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) не коллинеарны, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны?
2 Точки \(А\) и \(С\) симметричны относительно точки \(О\) и \(\vec{AD} = \vec{ВС}\). Симметричны ли точки \(В\) и \(D\) относительно точки \(О\)?
3 Точки \(А\) и \(С\) симметричны относительно прямой \(a\) и \(\vec{AD} = \vec{ВС}\). Могут ли точки \(В\) и \(D\) быть: а) симметричными относительно прямой \(a\); б) несимметричными относительно прямой \(a\)?
4 Точки \(А\) и \(С\), а также точки \(В\) и \(D\) симметричны относительно плоскости \(\alpha\). Могут ли векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) быть: а) равными; б) неравными?
5 Известно, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{a} + \vec{b}\) коллинеарны. Коллинеарны ли векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)?
6 Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?
7 Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?
8 Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?
9 Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов?
10 Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов?
11 На какое число нужно умножить ненулевой вектор \(\vec{a}\), чтобы получить вектор \(\vec{b}\), удовлетворяющий следующим условиям: а) \(\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}\) и \(|\vec{b}| = |\vec{a}|\); б) \(\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}\) и \(|\vec{b}| = 3 |\vec{a}|\); в) \(\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}\) и \(|\vec{b}| = k|\vec{a}|\); г) \(\vec{b} = \vec{0}\)?
12 Известно, что \(\vec{АВ} = k \cdot \vec{CD}\), причём точки \(А\), \(В\) и \(С\) не лежат на одной прямой. При каком значении \(k\) прямые \(AC\) и \(BD\) являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые \(АС\) и \(BD\) быть скрещивающимися?
13 Компланарны ли векторы: а) \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(2\vec{a}\), \(3\vec{b}\); б) \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{a} — \vec{b}\)?
14 Известно, что векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) компланарны. Компланарны ли векторы: а) \(\vec{a}\), \(2\vec{b}\), \(3\vec{c}\); б) \(\vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{a} + 2\vec{c}\), \(2\vec{b} — 3\vec{c}\)?
15 Точки \(А\), \(В\) и \(С\) лежат на окружности, а точка \(О\) не лежит в плоскости этой окружности. Могут ли векторы \(\vec{ОА}\), \(\vec{ОВ}\) и \(\vec{ОС}\) быть компланарными?
1. а) Да, любые два противоположно направленных вектора коллинеарны. б) Нет, коллинеарные вектора могут быть направлены в разные стороны. в) Да, любые два равных вектора коллинеарны. г) Нет, сонаправленные вектора могут быть разной длины. д) Да, если \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\) и \(\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{c}\), то \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{c}\). е) Да, существуют такие векторы.
2. Да, точки \(B\) и \(D\) также будут симметричны относительно точки \(O\).
3. а) Да, точки \(B\) и \(D\) могут быть симметричными относительно прямой \(a\). б) Да, точки \(B\) и \(D\) могут быть несимметричными относительно прямой \(a\).
4. а) Да, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) могут быть равными. б) Да, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) могут быть неравными.
5. Да, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
6. Нет, длина суммы двух векторов не может быть меньше длины каждого из слагаемых.
7. Нет, длина суммы нескольких ненулевых векторов не может быть равной сумме длин этих векторов.
8. Нет, длина разности двух ненулевых векторов не может быть равной сумме длин этих векторов.
9. Нет, длина разности двух ненулевых векторов не может быть равной разности длин этих векторов.
10. Да, длина суммы двух ненулевых векторов может быть равна длине разности этих векторов.
11. а) На -1 нужно умножить вектор \(\vec{a}\); б) На 3 нужно умножить вектор \(\vec{a}\); в) На -k нужно умножить вектор \(\vec{a}\); г) На 0 нужно умножить вектор \(\vec{a}\).
12. а) Прямые \(AC\) и \(BD\) будут параллельными при \(k = 0\); б) Прямые \(AC\) и \(BD\) будут пересекающимися при \(k \neq 0\). Прямые \(AC\) и \(BD\) не могут быть скрещивающимися.
13. а) Да, векторы компланарны. б) Да, векторы компланарны.
14. а) Да, векторы компланарны. б) Да, векторы компланарны.
15. Нет, векторы \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\) не могут быть компланарными.
1. Рассмотрим два ненулевых вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Мы хотим выяснить, может ли длина суммы этих векторов быть равна длине их разности.
2. Длина суммы векторов выражается как \(|\vec{a} + \vec{b}|\), а длина разности как \(|\vec{a} — \vec{b}|\).
3. По неравенству треугольника, мы знаем, что \(|\vec{a} + \vec{b}| \geq |\vec{a}| — |\vec{b}|\) и \(|\vec{a} — \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\).
4. Если предположить, что \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} — \vec{b}|\), то это равенство возможно только в случае, если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеют одинаковую длину и противоположные направления.
5. Если \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\), то можно записать:
\(
\vec{a} = k \cdot \vec{b}, \quad k = -1
\)
6. В этом случае, длина суммы будет равна:
\(
|\vec{a} + \vec{b}| = |(1 + k) \cdot \vec{b}| = |(1 — 1) \cdot \vec{b}| = |0| = 0
\)
7. А длина разности будет равна:
\(
|\vec{a} — \vec{b}| = |(1 — k) \cdot \vec{b}| = |(1 + 1) \cdot \vec{b}| = |2\vec{b}| = 2|\vec{b}|
\)
8. Таким образом, если \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} — \vec{b}|\), это возможно только в случае, когда векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны по длине и направлены в противоположные стороны.
9. Если векторы имеют разные направления или длины, то длина суммы не может равняться длине разности.
10. Таким образом, ответ на вопрос: да, длина суммы двух ненулевых векторов может быть равна длине разности этих векторов, но только в случае, если векторы равны по длине и направлены в противоположные стороны.
11. Теперь рассмотрим случай, когда векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не равны по длине и направлению.
12. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеют разные направления, то длина их суммы \(|\vec{a} + \vec{b}|\) всегда будет больше, чем длина разности \(|\vec{a} — \vec{b}|\). Это следует из неравенства треугольника.
13. Для произвольных ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), можно записать:
\(
|\vec{a} + \vec{b}| > ||\vec{a}| — |\vec{b}||
\)
14. Это значит, что длина суммы всегда будет больше, чем длина разности, если векторы не коллинеарны и не направлены в противоположные стороны.
15. Подводя итог, можно сказать, что длина суммы двух ненулевых векторов может быть равна длине разности только в случае, когда они равны по длине и направлены в противоположные стороны. В любом другом случае это равенство невозможно.
Таким образом, в общем случае, ответ на вопрос: да, длина суммы двух ненулевых векторов может быть равна длине разности, но только при особых условиях, когда векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.