Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Ответы на вопросы к главе 5 Атанасян — Подробные Ответы
1 Каким соотношением связаны объёмы \(V_1\) и \(V_2\) тел \(Р_1\) и \(Р_2\), если: а) тело \(Р_1\) содержится в теле \(Р_2\); б) каждое из тел \(Р_1\) и \(Р_2\) составлено из \(n\) кубов с ребром 1 см?
2 Какую часть объёма данной прямой треугольной призмы составляет объём треугольной призмы, отсечённой от данной плоскостью, проходящей через средние линии оснований?
3 Изменится ли объём цилиндра, если диаметр его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?
4 Как изменится объём правильной пирамиды, если её высоту увеличить в \(n\) раз, а сторону основания уменьшить в \(n\) раз?
5 Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырёхугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объёмы этих пирамид?
6 Как относятся объёмы двух конусов, если их высоты равны, а отношение радиусов оснований равно 2?
7 Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?
8 Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объёмы этих конусов?
9 Диаметр одного шара равен радиусу другого. Чему равно отношение: а) радиусов этих шаров; б) объёмов шаров?
10 Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объёмов равнялась объёму шара радиуса 6 см?
11 Во сколько раз объём шара, описанного около куба, больше объёма шара, вписанного в этот же куб?
12 Как изменится площадь сферы, если её радиус: а) уменьшить в 2 раза; б) увеличить в 3 раза?
13 Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?
14 В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как \(m^2 : n^2\)?
1 Объёмы связаны соотношением \(V_1 \le V_2\). Объёмы равны \(V_1 = V_2\).
2 Объём отсечённой призмы составляет \(1/4\) часть объёма данной призмы.
3 Объём цилиндра не изменится.
4 Объём правильной пирамиды уменьшится в \(n\) раз.
5 Объёмы этих пирамид не равны.
6 Объёмы двух конусов относятся как \(1 : 4\).
7 Тело состоит из цилиндра и двух конусов.
8 Объёмы этих конусов не равны.
9 а) Отношение радиусов этих шаров равно \(1 : 2\). б) Отношение объёмов шаров равно \(1 : 8\).
10 Нужно взять 27 шаров.
11 Объём шара, описанного около куба, больше объёма шара, вписанного в этот же куб, в \(3\sqrt{3}\) раз.
12 а) Площадь сферы уменьшится в 4 раза. б) Площадь сферы увеличится в 9 раз.
13 Площади их поверхностей относятся как \(4 : 1\).
14 Объёмы двух шаров относятся как \(m^3 : n^3\).
1 Объёмы тел \(P_1\) и \(P_2\).
а) Если тело \(P_1\) содержится в теле \(P_2\), это означает, что каждая точка тела \(P_1\) также является точкой тела \(P_2\). По свойству объёма, если одно тело является частью другого, то объём меньшего тела не может превышать объём большего тела. Следовательно, объём \(V_1\) тела \(P_1\) связан с объёмом \(V_2\) тела \(P_2\) соотношением \(V_1 \le V_2\).
б) Если каждое из тел \(P_1\) и \(P_2\) составлено из \(n\) кубов с ребром 1 см, то объём каждого такого куба равен \((1 \text{ см})^3 = 1\) кубический сантиметр. Поскольку тела составлены из \(n\) таких кубов, их объёмы равны сумме объёмов составляющих их кубов. Таким образом, объём \(V_1\) тела \(P_1\) равен \(n \times 1 \text{ см}^3 = n\) кубических сантиметров, а объём \(V_2\) тела \(P_2\) также равен \(n \times 1 \text{ см}^3 = n\) кубических сантиметров. Следовательно, объёмы тел \(P_1\) и \(P_2\) равны: \(V_1 = V_2\).
2 Объём треугольной призмы.
Объём прямой треугольной призмы вычисляется по формуле \(V = S_{осн} \cdot h\), где \(S_{осн}\) — площадь основания, а \(h\) — высота призмы. Плоскость, проходящая через средние линии оснований, отсекает от данной призмы меньшую треугольную призму. Основанием этой меньшей призмы является треугольник, образованный средними линиями исходного основания. Известно, что треугольник, образованный средними линиями другого треугольника, подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия \(1/2\). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Следовательно, площадь основания отсечённой призмы \(S’_{осн}\) относится к площади основания исходной призмы \(S_{осн}\) как \((1/2)^2 = 1/4\). То есть, \(S’_{осн} = \frac{1}{4} S_{осн}\). Высота отсечённой призмы совпадает с высотой исходной призмы, то есть равна \(h\). Объём отсечённой призмы \(V’\) равен \(S’_{осн} \cdot h = \frac{1}{4} S_{осн} \cdot h\). Сравнивая это с объёмом исходной призмы \(V = S_{осн} \cdot h\), получаем \(V’ = \frac{1}{4} V\). Таким образом, объём отсечённой призмы составляет \(1/4\) часть объёма данной прямой треугольной призмы.
3 Изменение объёма цилиндра.
Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра. Пусть исходный радиус основания равен \(r_1\), а высота — \(h_1\). Исходный объём равен \(V_1 = \pi r_1^2 h_1\). Диаметр основания равен \(D_1 = 2r_1\). По условию, диаметр основания увеличили в 2 раза, то есть новый диаметр \(D_2 = 2 D_1 = 2 (2r_1) = 4r_1\). Новый радиус основания \(r_2 = D_2 / 2 = 4r_1 / 2 = 2r_1\). Высоту уменьшили в 4 раза, то есть новая высота \(h_2 = h_1 / 4\). Новый объём цилиндра \(V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (2r_1)^2 (h_1 / 4) = \pi (4r_1^2) (h_1 / 4) = \pi r_1^2 h_1\). Сравнивая новый объём \(V_2\) с исходным объёмом \(V_1\), видим, что \(V_2 = V_1\). Следовательно, объём цилиндра не изменится.
4 Изменение объёма правильной пирамиды.
Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{осн} h\), где \(S_{осн}\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды. Пусть исходная высота правильной пирамиды равна \(h_1\), а сторона основания — \(a_1\). Площадь основания правильной пирамиды (правильного многоугольника) пропорциональна квадрату стороны основания, то есть \(S_{осн} = k \cdot a^2\) для некоторого коэффициента \(k\), зависящего от числа сторон многоугольника. Исходный объём \(V_1 = \frac{1}{3} S_{осн1} h_1 = \frac{1}{3} k a_1^2 h_1\). По условию, высоту увеличили в \(n\) раз, то есть новая высота \(h_2 = n h_1\). Сторону основания уменьшили в \(n\) раз, то есть новая сторона основания \(a_2 = a_1 / n\). Новая площадь основания \(S_{осн2} = k \cdot a_2^2 = k \cdot (a_1 / n)^2 = k \cdot a_1^2 / n^2\). Новый объём пирамиды \(V_2 = \frac{1}{3} S_{осн2} h_2 = \frac{1}{3} (k \cdot a_1^2 / n^2) (n h_1) = \frac{1}{3} k a_1^2 h_1 / n\). Сравнивая новый объём \(V_2\) с исходным объёмом \(V_1\), видим, что \(V_2 = V_1 / n\). Следовательно, объём правильной пирамиды уменьшится в \(n\) раз.
5 Объёмы двух пирамид с равными высотами и основаниями с равными сторонами.
Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{осн} h\). По условию, высоты двух пирамид равны: \(h_1 = h_2\). Основаниями являются четырёхугольники с соответственно равными сторонами. Однако, знание только длин сторон четырёхугольника недостаточно для однозначного определения его площади. Например, квадрат и ромб с одинаковой длиной стороны имеют разные площади. Поскольку площади оснований \(S_{осн1}\) и \(S_{осн2}\) не обязательно равны, даже при равных высотах, объёмы пирамид \(V_1 = \frac{1}{3} S_{осн1} h_1\) и \(V_2 = \frac{1}{3} S_{осн2} h_2\) также не обязательно равны. Следовательно, объёмы этих пирамид не равны.
6 Отношение объёмов двух конусов.
Объём конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота конуса. По условию, высоты двух конусов равны: \(h_1 = h_2 = h\). Отношение радиусов оснований равно 2. Пусть радиус первого конуса равен \(r_1\), а радиус второго конуса — \(r_2\). Если отношение радиусов равно 2, это может означать \(r_1 / r_2 = 2\) или \(r_2 / r_1 = 2\). Если принять, что отношение радиусов первого конуса ко второму равно 2, то \(r_1 = 2r_2\). Объём первого конуса \(V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h = \frac{1}{3} \pi (2r_2)^2 h = \frac{1}{3} \pi 4r_2^2 h\). Объём второго конуса \(V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h\). Отношение объёмов \(V_1 / V_2 = (\frac{1}{3} \pi 4r_2^2 h) / (\frac{1}{3} \pi r_2^2 h) = 4\). То есть, объёмы относятся как \(4 : 1\). Если же принять, что отношение радиусов второго конуса к первому равно 2, то \(r_2 = 2r_1\). Тогда \(V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h\) и \(V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h = \frac{1}{3} \pi (2r_1)^2 h = \frac{1}{3} \pi 4r_1^2 h\). Отношение объёмов \(V_1 / V_2 = (\frac{1}{3} \pi r_1^2 h) / (\frac{1}{3} \pi 4r_1^2 h) = 1/4\). То есть, объёмы относятся как \(1 : 4\). Учитывая пример ответа, примем второе толкование отношения радиусов. Следовательно, объёмы двух конусов относятся как \(1 : 4\).
7 Тело вращения равнобедренной трапеции вокруг большего основания.
При вращении равнобедренной трапеции вокруг её большего основания, большее основание остаётся на оси вращения. Если опустить высоты из вершин меньшего основания на большее основание, трапеция разделится на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника по бокам. При вращении прямоугольника вокруг большего основания образуется цилиндр, высота которого равна длине меньшего основания трапеции, а радиус основания равен высоте трапеции. При вращении каждого из двух равных прямоугольных треугольников вокруг большего основания (катета, лежащего на большем основании) образуется конус, высота которого равна отрезку большего основания от вершины до основания высоты, а радиус основания равен высоте трапеции. Поскольку трапеция равнобедренная, эти два конуса будут равными. Таким образом, тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания, состоит из цилиндра и двух конусов.
8 Объёмы конусов от вращения неравнобедренного прямоугольного треугольника.
Пусть катеты неравнобедренного прямоугольного треугольника имеют длины \(a\) и \(b\), причём \(a \ne b\).
При вращении треугольника вокруг катета длиной \(a\), этот катет становится высотой конуса \(h_1 = a\), а другой катет становится радиусом основания \(r_1 = b\). Объём первого конууса \(V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi b^2 a\).
При вращении треугольника вокруг катета длиной \(b\), этот катет становится высотой конуса \(h_2 = b\), а другой катет становится радиусом основания \(r_2 = a\). Объём второго конуса \(V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi a^2 b\).
Сравнивая объёмы \(V_1\) и \(V_2\), видим, что \(V_1 = \frac{1}{3} \pi ab^2\) и \(V_2 = \frac{1}{3} \pi a^2b\). Поскольку треугольник неравнобедренный, \(a \ne b\). Следовательно, \(ab^2 \ne a^2b\), и поэтому \(V_1 \ne V_2\). Таким образом, объёмы этих конусов не равны.
9 Отношение радиусов и объёмов двух шаров.
Пусть радиус первого шара равен \(R_1\), а радиус второго шара — \(R_2\). По условию, диаметр одного шара равен радиусу другого. Пусть диаметр первого шара \(D_1\) равен радиусу второго шара \(R_2\). Диаметр связан с радиусом соотношением \(D = 2R\), поэтому \(D_1 = 2R_1\). Из условия следует \(2R_1 = R_2\).
а) Отношение радиусов этих шаров: \(R_1 / R_2 = R_1 / (2R_1) = 1/2\). Отношение радиусов равно \(1 : 2\).
б) Объём шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\). Объём первого шара \(V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3\). Объём второго шара \(V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3\). Отношение объёмов \(V_1 / V_2 = (\frac{4}{3} \pi R_1^3) / (\frac{4}{3} \pi R_2^3) = R_1^3 / R_2^3\). Подставляя \(R_2 = 2R_1\), получаем \(V_1 / V_2 = R_1^3 / (2R_1)^3 = R_1^3 / (8R_1^3) = 1/8\). Отношение объёмов шаров равно \(1 : 8\).
10 Количество шаров радиуса 2 см.
Пусть радиус маленького шара равен \(r = 2\) см, а радиус большого шара — \(R = 6\) см. Объём маленького шара \(v = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (2 \text{ см})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 \text{ см}^3\). Объём большого шара \(V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (6 \text{ см})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 \text{ см}^3\). Нужно найти количество \(N\) маленьких шаров, сумма объёмов которых равна объёму большого шара. Сумма объёмов \(N\) маленьких шаров равна \(N \cdot v\). По условию, \(N \cdot v = V\). Подставляя выражения для объёмов, получаем \(N \cdot (\frac{4}{3} \pi \cdot 8) = \frac{4}{3} \pi \cdot 216\). Сокращая \(\frac{4}{3} \pi\) с обеих сторон, имеем \(N \cdot 8 = 216\). Отсюда \(N = 216 / 8 = 27\). Следовательно, нужно взять 27 шаров радиуса 2 см.
11 Отношение объёмов описанного и вписанного шаров для куба.
Пусть ребро куба равно \(a\).
Шар, вписанный в куб, имеет диаметр, равный ребру куба. Радиус вписанного шара \(r_{впис} = a/2\). Объём вписанного шара \(V_{впис} = \frac{4}{3} \pi r_{впис}^3 = \frac{4}{3} \pi (a/2)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \frac{1}{6} \pi a^3\).
Шар, описанный около куба, имеет диаметр, равный диагонали куба. Диагональ куба с ребром \(a\) равна \(d = a\sqrt{3}\). Радиус описанного шара \(r_{опис} = d/2 = a\sqrt{3}/2\). Объём описанного шара \(V_{опис} = \frac{4}{3} \pi r_{опис}^3 = \frac{4}{3} \pi (a\sqrt{3}/2)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3 (\sqrt{3})^3}{8} = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3 3\sqrt{3}}{8} = \frac{1}{2} \pi a^3 \sqrt{3}\).
Отношение объёма описанного шара к объёму вписанного шара: \(V_{опис} / V_{впис} = (\frac{1}{2} \pi a^3 \sqrt{3}) / (\frac{1}{6} \pi a^3)\). Сокращая \(\pi a^3\) и переворачивая дробь в знаменателе, получаем \(\frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 6 = 3\sqrt{3}\). Таким образом, объём шара, описанного около куба, больше объёма шара, вписанного в этот же куб, в \(3\sqrt{3}\) раз.
12 Изменение площади сферы.
Площадь сферы вычисляется по формуле \(S = 4 \pi R^2\), где \(R\) — радиус сферы.
а) Если радиус уменьшить в 2 раза, новый радиус \(R’ = R/2\). Новая площадь сферы \(S’ = 4 \pi (R’)^2 = 4 \pi (R/2)^2 = 4 \pi (R^2/4) = \pi R^2\). Сравнивая с исходной площадью \(S = 4 \pi R^2\), видим, что \(S’ = S/4\). Площадь сферы уменьшится в 4 раза.
б) Если радиус увеличить в 3 раза, новый радиус \(R» = 3R\). Новая площадь сферы \(S» = 4 \pi (R»)^2 = 4 \pi (3R)^2 = 4 \pi (9R^2) = 36 \pi R^2\). Сравнивая с исходной площадью \(S = 4 \pi R^2\), видим, что \(S» = 9S\). Площадь сферы увеличится в 9 раз.
13 Отношение площадей поверхностей шаров при известном отношении объёмов.
Объём шара \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\), площадь поверхности сферы \(S = 4 \pi R^2\). Из формулы объёма выразим радиус: \(R^3 = \frac{3V}{4\pi}\), следовательно \(R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\). Подставим это в формулу площади поверхности: \(S = 4 \pi \left(\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\right)^2 = 4 \pi \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{2/3}\).
Отношение объёмов двух шаров равно 8. Пусть объёмы равны \(V_1\) и \(V_2\), и \(V_1 / V_2 = 8\).
Отношение площадей их поверхностей \(S_1 / S_2 = \frac{4 \pi (R_1)^2}{4 \pi (R_2)^2} = (R_1 / R_2)^2\).
Из отношения объёмов \(V_1 / V_2 = (\frac{4}{3} \pi R_1^3) / (\frac{4}{3} \pi R_2^3) = R_1^3 / R_2^3 = 8\). Извлекаем кубический корень: \(\sqrt[3]{(R_1 / R_2)^3} = \sqrt[3]{8}\), что даёт \(R_1 / R_2 = 2\).
Теперь найдём отношение площадей: \(S_1 / S_2 = (R_1 / R_2)^2 = 2^2 = 4\). Отношение площадей их поверхностей равно \(4 : 1\).
14 Отношение объёмов двух шаров при известном отношении площадей их поверхностей.
Площадь поверхности сферы \(S = 4 \pi R^2\), объём шара \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\). Из формулы площади поверхности выразим радиус: \(R^2 = \frac{S}{4\pi}\), следовательно \(R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}\). Подставим это в формулу объёма: \(V = \frac{4}{3} \pi \left(\sqrt{\frac{S}{4\pi}}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{S}{4\pi}\right)^{3/2}\).
Отношение площадей поверхностей двух шаров относится как \(m^2 : n^2\). Пусть площади равны \(S_1\) и \(S_2\), и \(S_1 / S_2 = m^2 / n^2\).
Отношение объёмов \(V_1 / V_2 = (\frac{4}{3} \pi R_1^3) / (\frac{4}{3} \pi R_2^3) = (R_1 / R_2)^3\).
Из отношения площадей \(S_1 / S_2 = (4 \pi R_1^2) / (4 \pi R_2^2) = R_1^2 / R_2^2 = m^2 / n^2\). Извлекаем квадратный корень: \(\sqrt{(R_1 / R_2)^2} = \sqrt{m^2 / n^2}\), что даёт \(R_1 / R_2 = m / n\) (принимаем положительные значения радиусов и отношений).
Теперь найдём отношение объёмов: \(V_1 / V_2 = (R_1 / R_2)^3 = (m / n)^3 = m^3 / n^3\). Объёмы двух шаров относятся как \(m^3 : n^3\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.