Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 870 Атанасян — Подробные Ответы
Исследуйте взаимное расположение параболы \(y= x^2\) и окружности радиуса \(R\) с центром в точке \((0; R)\) в зависимости от \(R\).
Решение:
1) Составим уравнение окружности: \(x_0 = 0\) и \(y_0 = -R\), значит: \(R^2 = (x + x_0)^2 + (y + y_0)^2\); \(R^2 = x^2 + (y — R)^2\);
2) Подставим значение \(x\) из уравнение параболы и найдем корни: \(R^2 = y + (y-R)^2 \Rightarrow y^2-2Ry + R^2 +y -R^2 = 0\); \(y(y + 1 — 2R) = 0\), отсюда \(y = 0\) или \(y = 2R — 1\);
3) Таким образом:
Если \(R = \frac{1}{2}\), то \(y = 0\) и \(x = \sqrt{y} = 0\);
Если \(R > \frac{1}{2}\), то \(y = 2R — 1\) и \(x = \pm\sqrt{2R — 1}\);
Если \(R < \frac{1}{2}\), то \(y < 0\), тогда \(x = \sqrt{y}\) не имеет корней.
Ответ: Если \(R = \frac{1}{2}\), то окружность и парабола касаются в точке \((0; 0)\);
Если \(R > \frac{1}{2}\), то окружность и парабола касаются в точке \((0; 0)\) и пересекаются в точках \((\sqrt{2R — 1}; 2R — 1)\) и \((-\sqrt{2R — 1}; 2R — 1)\);
Если \(R < \frac{1}{2}\), то общих точек нет.
Решение:
1) Дано уравнение параболы \(y = x^2\) и уравнение окружности \(r = R\), где \(R\) — радиус окружности, и центр окружности находится в точке \((0; 0)\).
2) Составим уравнение окружности:
Уравнение окружности с центром в точке \((x_0; y_0)\) и радиусом \(R\) имеет вид:
\(R^2 = (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2\)
В данном случае \(x_0 = 0\) и \(y_0 = -R\), поэтому уравнение окружности примет вид:
\(R^2 = x^2 + (y + R)^2\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(R^2 = x^2 + y^2 + 2Ry + R^2\)
Сокращая \(R^2\) на обеих сторонах, получаем:
\(1 = \frac{x^2 + y^2 + 2Ry}{R^2}\)
3) Подставим уравнение параболы \(y = x^2\) в уравнение окружности:
\(1 = \frac{x^2 + x^4 + 2Rx^2}{R^2}\)
Упростим выражение:
\(1 = \frac{x^2(1 + x^2) + 2Rx^2}{R^2}\)
\(1 = \frac{x^2(1 + x^2 + 2R)}{R^2}\)
4) Решим полученное квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^2(1 + x^2 + 2R) — R^2 = 0\)
\(x^4 + (1 + 2R)x^2 — R^2 = 0\)
Дискриминант этого уравнения:
\(D = (1 + 2R)^2 + 4R^2 = 1 + 4R + 4R^2\)
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:
\(x = \pm \sqrt{\frac{-1 — 2R \pm \sqrt{1 + 4R + 4R^2}}{2}}\)
Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень:
\(x = \pm \sqrt{-\frac{1 + 2R}{2}}\)
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней. 5) Найдем значения \(y\) для найденных значений \(x\):
\(y = x^2\) 6) Анализ полученных решений:
- Если \(R = \frac{1}{2}\), то \(x = 0\) и \(y = 0\), то есть парабола и окружность касаются в точке \((0; 0)\).
- Если \(R > \frac{1}{2}\), то уравнение имеет два действительных корня, следовательно, парабола и окружность пересекаются в двух точках.
— Если \(R < \frac{1}{2}\), то уравнение не имеет действительных корней, следовательно, парабола и окружность не пересекаются. Ответ: Если \(R = \frac{1}{2}\), то окружность и парабола касаются в точке \((0; 0)\);
Если \(R > \frac{1}{2}\), то окружность и парабола пересекаются в двух точках \((\sqrt{2R — 1}; 2R — 1)\) и \((-\sqrt{2R — 1}; 2R — 1)\);
Если \(R < \frac{1}{2}\), то общих точек нет.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.