ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 869 Атанасян — Подробные Ответы

Парабола задана уравнением \(y = ax^2 + bx + c\). Напишите уравнение директрисы этой параболы и найдите координаты её фокуса.

Решение:

1) Совместим точку O с вершиной параболы:
\(x’ = x + \frac{b}{2a}, \quad y’ = y + \frac{b^2}{4a} — c\)
\(O’ = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} + c\right)\)

2) Уравнение параболы в осях O’x’y’:
\(y’ — \frac{b^2}{4a} + c = a(x’ — \frac{b}{2a})^2 + b(x’ — \frac{b}{2a}) + c\)

3) Уравнение директрисы:
\(y = y’ — \frac{b^2}{4a} + c = -\frac{1}{4a}b^2 + c\)

4) Координаты фокуса:
\(x = x’ — \frac{b}{2a} = -\frac{b}{2a}, \quad y = y’ — \frac{b^2}{4a} + c = \frac{1}{4a}b^2 + c\)

Ответ: \(y = \frac{4ac — b^2 — 1}{4a}\)

Итак, рассмотрим полное решение задачи:

Дано уравнение параболы \(y = ax^2 + bx + c\). Необходимо найти значение \(y\) при \(F(x; y)\).

Решение:
1) Совместим начало координат O с вершиной параболы. Для этого сделаем сдвиг координат:
\(x’ = x + \frac{b}{2a}\)
\(y’ = y + \frac{b^2}{4a} — c\)
Таким образом, новое положение вершины параболы будет \(O’ = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} + c\right)\).

2) Запишем уравнение параболы в новых осях координат O’x’y’:
\(y’ — \frac{b^2}{4a} + c = a\left(x’ — \frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(x’ — \frac{b}{2a}\right) + c\)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
\(y’ — \frac{b^2}{4a} + c = ax’^2 — bx’ + \frac{b^2}{4a} + b\left(x’ — \frac{b}{2a}\right) + c\)
\(y’ — \frac{b^2}{4a} + c = ax’^2 — bx’ + \frac{b^2}{4a} + bx’ — \frac{b^2}{2a} + c\)
\(y’ — \frac{b^2}{4a} + c = ax’^2 — \frac{b^2}{2a} + \frac{b^2}{4a} + c\)
\(y’ = ax’^2 — \frac{b^2}{4a} + c\)

3) Запишем уравнение директрисы в новых осях координат:
\(y = y’ — \frac{b^2}{4a} + c = -\frac{1}{4a}b^2 + c\)

4) Найдем координаты фокуса:
\(x = x’ — \frac{b}{2a} = -\frac{b}{2a}\)
\(y = y’ — \frac{b^2}{4a} + c = \frac{1}{4a}b^2 + c\)

Таким образом, ответ будет:
\(y = \frac{4ac — b^2 — 1}{4a}\)