Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 865 Атанасян — Подробные Ответы
Исследуйте взаимное расположение эллипса \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1\) и: а) окруж-ности радиуса \(\sqrt{7}\) с центром в начале координат; б) окружности радиуса 2 с центром в точке \((2; 0)\).
Решение:
а) Уравнение окружности: \(r^2 = (x + x_0)^2 + (y + y_0)^2\), \(x^2 + y^2 = 7\), \(y^2 = 7 — x^2\). Точки пересечения с эллипсом: \(\frac{x^2}{16} + \frac{7 — x^2}{4} = 1\), \(x^2 + 4(7 — x^2) = 16\), \(x = \pm 2\), \(y = \pm \sqrt{3}\).
б) Уравнение окружности: \(r^2 = (x + x_0)^2 + (y + y_0)^2 = 4\), \(y^2 = 4 — (x — 2)^2 = 4x — x^2\). Точки пересечения с эллипсом: \(\frac{x^2}{16} + \frac{4x — x^2}{4} = 1\), \(x^2 — 4x^2 + 16x = 16\), \(x_1 = \frac{16 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\), \(x_2 = \frac{16 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4\), \(y_1 = \pm \frac{\sqrt{4}}{3} = \pm \frac{2}{3}\), \(y_2 = 0\).
Ответ:
а) Точки пересечения: \((2, \sqrt{3}), (2, -\sqrt{3}), (-2, \sqrt{3}), (-2, -\sqrt{3})\).
б) Точки пересечения: \((\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}), (4, \frac{2}{3}), (4, -\frac{2}{3})\).
Дано:
Уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1\)
Уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 7\)
Решение:
1. Найдем точки пересечения эллипса и окружности.
2. Для этого подставим уравнение окружности в уравнение эллипса:
\(\frac{x^2}{16} + \frac{7 — x^2}{4} = 1\)
\(\frac{x^2}{16} + \frac{7}{4} — \frac{x^2}{4} = 1\)
\(\frac{x^2}{16} + \frac{7}{4} — \frac{x^2}{4} = \frac{16}{16}\)
\(\frac{4x^2 — 16x^2 + 28}{16} = 1\)
\(-12x^2 + 28 = 16\)
\(-12x^2 + 28 — 16 = 0\)
\(-12x^2 + 12 = 0\)
\(x^2 — 1 = 0\)
\(x = \pm 1\)
3. Подставим найденные значения \(x\) в уравнение окружности, чтобы найти соответствующие значения \(y\):
\(x^2 + y^2 = 7\)
\((1)^2 + y^2 = 7\)
\(y^2 = 6\)
\(y = \pm \sqrt{6}\)
4. Аналогично, подставим \(x = -1\) в уравнение окружности:
\((-1)^2 + y^2 = 7\)
\(y^2 = 6\)
\(y = \pm \sqrt{6}\)
Таким образом, точки пересечения эллипса и окружности:
\((1, \sqrt{6}), (1, -\sqrt{6}), (-1, \sqrt{6}), (-1, -\sqrt{6})\)
Ответ: Точки пересечения эллипса и окружности — \((1, \sqrt{6}), (1, -\sqrt{6}), (-1, \sqrt{6}), (-1, -\sqrt{6})\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.