ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 864 Атанасян — Подробные Ответы

Исследуйте взаимное расположение эллипса \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) и прямой, проходящей через точки с координатами \((1; — 1)\) и \((3; 1)\).

Решение:
1) Уравнение прямой: \(y = kx + b\), где \(k = 1\) и \(b = -2\)
2) Пересечение прямой с эллипсом:
\(\frac{x^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1\)
\(4x^2 + 9(x — 2)^2 = 36\)
\(4x^2 + 9x^2 — 36x + 36 = 36\)
\(13x^2 — 36x = 0\)
\(x_1 = 0, y_1 = -2\)
\(x_2 = \frac{36}{13}, y_2 = \frac{36}{13} — 2 = \frac{10}{13}\)
Ответ: точки пересечения \((0, -2)\) и \((\frac{36}{13}, \frac{10}{13})\).

Дано:
Уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)
Прямая: проходящая через точки (1, -1) и (3, 1)

Решение:
1) Найдем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Используем формулу \(y = kx + b\), где \(k\) — угловой коэффициент прямой, а \(b\) — свободный член.

Для нахождения \(k\) используем формулу: \(k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\)
Подставляя координаты точек, получаем: \(k = \frac{1 — (-1)}{3 — 1} = \frac{2}{2} = 1\)

Теперь найдем \(b\) по одной из точек: \(y = 1x + b\)
Подставляя координаты точки (1, -1), получаем: \(-1 = 1 \cdot 1 + b\), откуда \(b = -2\)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид: \(y = 1x — 2\)

2) Найдем точки пересечения прямой и эллипса. Для этого подставим уравнение прямой в уравнение эллипса:
\(\frac{x^2}{9} + \frac{(1x — 2)^2}{4} = 1\)
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
\(4x^2 + 9(x^2 — 4x + 4) = 36\)
\(4x^2 + 9x^2 — 36x + 36 = 36\)
\(13x^2 — 36x = 0\)

Решая это уравнение, находим:
\(x_1 = 0\), \(y_1 = -2\)
\(x_2 = \frac{36}{13}\), \(y_2 = \frac{36}{13} — 2 = \frac{10}{13}\)

Таким образом, точки пересечения прямой и эллипса: \((0, -2)\) и \((\frac{36}{13}, \frac{10}{13})\).