Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 864 Атанасян — Подробные Ответы
Исследуйте взаимное расположение эллипса \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) и прямой, проходящей через точки с координатами \((1; — 1)\) и \((3; 1)\).
Решение:
1) Уравнение прямой: \(y = kx + b\), где \(k = 1\) и \(b = -2\)
2) Пересечение прямой с эллипсом:
\(\frac{x^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1\)
\(4x^2 + 9(x — 2)^2 = 36\)
\(4x^2 + 9x^2 — 36x + 36 = 36\)
\(13x^2 — 36x = 0\)
\(x_1 = 0, y_1 = -2\)
\(x_2 = \frac{36}{13}, y_2 = \frac{36}{13} — 2 = \frac{10}{13}\)
Ответ: точки пересечения \((0, -2)\) и \((\frac{36}{13}, \frac{10}{13})\).
Дано:
Уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)
Прямая: проходящая через точки (1, -1) и (3, 1)
Решение:
1) Найдем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Используем формулу \(y = kx + b\), где \(k\) — угловой коэффициент прямой, а \(b\) — свободный член.
Для нахождения \(k\) используем формулу: \(k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\)
Подставляя координаты точек, получаем: \(k = \frac{1 — (-1)}{3 — 1} = \frac{2}{2} = 1\)
Теперь найдем \(b\) по одной из точек: \(y = 1x + b\)
Подставляя координаты точки (1, -1), получаем: \(-1 = 1 \cdot 1 + b\), откуда \(b = -2\)
Таким образом, уравнение прямой имеет вид: \(y = 1x — 2\)
2) Найдем точки пересечения прямой и эллипса. Для этого подставим уравнение прямой в уравнение эллипса:
\(\frac{x^2}{9} + \frac{(1x — 2)^2}{4} = 1\)
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
\(4x^2 + 9(x^2 — 4x + 4) = 36\)
\(4x^2 + 9x^2 — 36x + 36 = 36\)
\(13x^2 — 36x = 0\)
Решая это уравнение, находим:
\(x_1 = 0\), \(y_1 = -2\)
\(x_2 = \frac{36}{13}\), \(y_2 = \frac{36}{13} — 2 = \frac{10}{13}\)
Таким образом, точки пересечения прямой и эллипса: \((0, -2)\) и \((\frac{36}{13}, \frac{10}{13})\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.