Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 863 Атанасян — Подробные Ответы
Расстояние между двумя фокусами эллипса равно \(\frac{4}{2}\), а отноше-ние большой и малой полуосей равно 3. а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат \(Оху\), где \(О\) — середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси \(Ох\). б) Найдите эксцентри-ситет эллипса. в) Напишите уравнения директрис эллипса в систе-ме координат \(Оху\).
1) Расстояние между фокусами эллипса равно \(F_1F_2 = 4\sqrt{2}\), следовательно \(c = OF_1 = OF_2 = 2\sqrt{2}\).
2) Используя свойство эллипса \(b^2 = a^2 — c^2\), получаем \(a^2 = 9a^2 — 9c^2 \Rightarrow a = \sqrt{72} = 3\sqrt{8}\).
3) Тогда \(b = \sqrt{9 — (2\sqrt{2})^2} = 1\).
а) Каноническое уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).
б) Эксцентриситет: \(e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{8}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}\).
в) Уравнения директрис: \(x = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}, y = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}\).
Ответ: а) \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1\); б) \(e = \frac{2}{3}\); в) \(x = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}, y = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}\).
Дано: эллипс с фокусами \(F_1\) и \(F_2\), расстояние между которыми равно \(F_1F_2 = 4\sqrt{2}\). Коэффициент \(a = 3\).
Шаг 1. Найдем расстояние от центра эллипса до фокусов \(c\).
Поскольку \(F_1F_2 = 4\sqrt{2}\), то \(c = OF_1 = OF_2 = 2\sqrt{2}\).
Шаг 2. Найдем коэффициент \(b\) эллипса, используя свойство эллипса \(b^2 = a^2 — c^2\).
\(b^2 = a^2 — c^2 \Rightarrow b^2 = 9 — 4 \Rightarrow b = 1\).
Шаг 3. Запишем каноническое уравнение эллипса.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). Подставляя известные значения, получаем \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1\).
Шаг 4. Найдем эксцентриситет эллипса.
Эксцентриситет эллипса определяется как \(e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3}\).
Шаг 5. Запишем уравнения директрис эллипса.
Уравнения директрис эллипса имеют вид \(x = \pm \frac{c}{a}\) и \(y = \pm \frac{c}{b}\). Подставляя известные значения, получаем \(x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}\) и \(y = \pm \frac{2\sqrt{2}}{1} = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}\).
Ответ:
а) Каноническое уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1\);
б) Эксцентриситет: \(e = \frac{2}{3}\);
в) Уравнения директрис: \(x = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}, y = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.