Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 862 Атанасян — Подробные Ответы
На сторонах \(АВ\), \(ВС\) и \(СА\) треугольника \(АВС\) (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответ-ственно точки \(С_1\), \(А_1\) и \(В_1\). Докажите, что прямые \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:
а) \(\frac{\sin 2СС_1В}{\sin 2ССВ} = \frac{\sin 2ВАА_1}{\sin ZA_1AC} = \frac{\sin 2СВВ_1}{\sin 2В_1ВА} = 1\);
б) для любой точки \(О\), не лежащей на прямых \(АВ\), \(ВС\) и \(СА\), выполняется равенство \(\frac{\sin АОС_1}{\sin 2СОВ} = \frac{\sin 2ВОА_1}{\sin ZА_1ОС} = \frac{\sin 2СОВ_1}{\sin 2ВОА} = 1\)
a) Чтобы прямые AA1, BB1, CC1 пересекались в одной точке, должно выполняться условие: \(\sin 2C_1CB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin 2B_1BA \cdot \sin \angle ACC_1 = \sin 2BAA_1 \cdot \sin 2CBB_1\).
б) Для любой точки O, не лежащей на AB, BC и CA, выполняется равенство: \(\sin \angle COB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin \angle BOA = 1\).
Для доказательства утверждений а) и б) из условия задачи воспользуемся теоремой Чевы.
а) Докажем, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, если выполняется условие:
\(\sin 2C_1CB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin 2B_1BA \cdot \sin \angle ACC_1 = \sin 2BAA_1 \cdot \sin 2CBB_1\)
Доказательство:
1) Пусть \(\angle AC_1C = a\), тогда \(\angle CC_1B = 180° — a\) (как смежные углы).
2) Применяя теорему синусов для треугольников ACC1 и AC1C, получим:
\(\frac{AC_1}{AC} = \frac{\sin \angle C_1CB}{\sin a}\)
\(\frac{BC_1}{BC} = \frac{\sin \angle AC_1C}{\sin (180° — a)} = \frac{\sin a}{\sin a}\)
Отсюда \(\frac{AC_1}{AC} = \frac{BC_1}{BC}\)
3) Аналогично для треугольников BAA1 и CAC1, BAB1 и CBC1 получим:
\(\frac{BA_1}{BA} = \frac{\sin \angle 2BAA_1}{\sin \angle BAB_1}\)
\(\frac{CB_1}{CB} = \frac{\sin \angle 2CBB_1}{\sin \angle CBC_1}\)
4) Теперь, применяя теорему Чевы, получаем, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, если выполняется условие:
\(\sin 2C_1CB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin 2B_1BA \cdot \sin \angle ACC_1 = \sin 2BAA_1 \cdot \sin 2CBB_1\)
б) Докажем, что для любой точки O, не лежащей на прямых AB, BC и CA, выполняется равенство:
\(\sin \angle COB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin \angle BOA = 1\)
Доказательство:
1) Пусть \(\angle AC_1O = a\), тогда \(\angle BC_1O = 180° — a\) (как смежные углы).
2) Применяя теорему синусов для треугольников ACO и BOC1, получим:
\(\frac{AO}{AC} = \frac{\sin \angle COB}{\sin a}\)
\(\frac{BO}{BC} = \frac{\sin \angle AOC_1}{\sin (180° — a)} = \frac{\sin a}{\sin a}\)
Отсюда \(\frac{AO}{AC} = \frac{BO}{BC}\)
3) Аналогично для треугольников BOA1 и COA, AOB1 и COB получим:
\(\frac{OA_1}{OA} = \frac{\sin \angle BOA}{\sin \angle AOB_1}\)
\(\frac{OB_1}{OB} = \frac{\sin \angle COB}{\sin \angle AOC_1}\)
4) Теперь, применяя теорему Чевы, получаем, что для любой точки O, не лежащей на прямых AB, BC и CA, выполняется равенство:
\(\sin \angle COB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin \angle BOA = 1\)
Таким образом, мы доказали оба утверждения из условия задачи.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.