ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 862 Атанасян — Подробные Ответы

На сторонах \(АВ\), \(ВС\) и \(СА\) треугольника \(АВС\) (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответ-ственно точки \(С_1\), \(А_1\) и \(В_1\). Докажите, что прямые \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:
а) \(\frac{\sin 2СС_1В}{\sin 2ССВ} = \frac{\sin 2ВАА_1}{\sin ZA_1AC} = \frac{\sin 2СВВ_1}{\sin 2В_1ВА} = 1\);
б) для любой точки \(О\), не лежащей на прямых \(АВ\), \(ВС\) и \(СА\), выполняется равенство \(\frac{\sin АОС_1}{\sin 2СОВ} = \frac{\sin 2ВОА_1}{\sin ZА_1ОС} = \frac{\sin 2СОВ_1}{\sin 2ВОА} = 1\)

a) Чтобы прямые AA1, BB1, CC1 пересекались в одной точке, должно выполняться условие: \(\sin 2C_1CB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin 2B_1BA \cdot \sin \angle ACC_1 = \sin 2BAA_1 \cdot \sin 2CBB_1\).

б) Для любой точки O, не лежащей на AB, BC и CA, выполняется равенство: \(\sin \angle COB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin \angle BOA = 1\).

Для доказательства утверждений а) и б) из условия задачи воспользуемся теоремой Чевы.

а) Докажем, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, если выполняется условие:
\(\sin 2C_1CB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin 2B_1BA \cdot \sin \angle ACC_1 = \sin 2BAA_1 \cdot \sin 2CBB_1\)

Доказательство:
1) Пусть \(\angle AC_1C = a\), тогда \(\angle CC_1B = 180° — a\) (как смежные углы).
2) Применяя теорему синусов для треугольников ACC1 и AC1C, получим:
\(\frac{AC_1}{AC} = \frac{\sin \angle C_1CB}{\sin a}\)
\(\frac{BC_1}{BC} = \frac{\sin \angle AC_1C}{\sin (180° — a)} = \frac{\sin a}{\sin a}\)
Отсюда \(\frac{AC_1}{AC} = \frac{BC_1}{BC}\)
3) Аналогично для треугольников BAA1 и CAC1, BAB1 и CBC1 получим:
\(\frac{BA_1}{BA} = \frac{\sin \angle 2BAA_1}{\sin \angle BAB_1}\)
\(\frac{CB_1}{CB} = \frac{\sin \angle 2CBB_1}{\sin \angle CBC_1}\)
4) Теперь, применяя теорему Чевы, получаем, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, если выполняется условие:
\(\sin 2C_1CB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin 2B_1BA \cdot \sin \angle ACC_1 = \sin 2BAA_1 \cdot \sin 2CBB_1\)

б) Докажем, что для любой точки O, не лежащей на прямых AB, BC и CA, выполняется равенство:
\(\sin \angle COB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin \angle BOA = 1\)

Доказательство:
1) Пусть \(\angle AC_1O = a\), тогда \(\angle BC_1O = 180° — a\) (как смежные углы).
2) Применяя теорему синусов для треугольников ACO и BOC1, получим:
\(\frac{AO}{AC} = \frac{\sin \angle COB}{\sin a}\)
\(\frac{BO}{BC} = \frac{\sin \angle AOC_1}{\sin (180° — a)} = \frac{\sin a}{\sin a}\)
Отсюда \(\frac{AO}{AC} = \frac{BO}{BC}\)
3) Аналогично для треугольников BOA1 и COA, AOB1 и COB получим:
\(\frac{OA_1}{OA} = \frac{\sin \angle BOA}{\sin \angle AOB_1}\)
\(\frac{OB_1}{OB} = \frac{\sin \angle COB}{\sin \angle AOC_1}\)
4) Теперь, применяя теорему Чевы, получаем, что для любой точки O, не лежащей на прямых AB, BC и CA, выполняется равенство:
\(\sin \angle COB \cdot \sin ZA_C \cdot \sin \angle BOA = 1\)

Таким образом, мы доказали оба утверждения из условия задачи.