ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 861 Атанасян — Подробные Ответы

На стороне \(АС\) треугольника \(АВС\) отмечены точки \(Р\) и \(Е\), а на сто-роне \(ВС\) — точки \(М\) и \(К\), причём \(АР : PE : EC = CK : KM : MB\). Отрезки \(АМ\) и \(ВР\) пересекаются в точке \(О\), а отрезки \(АК\) и \(ВЕ\) — в точке \(Т\). Докажите, что точки \(О\), \(Т\) и \(С\) лежат на одной прямой.

1) Пусть AP = x, PE = y, EC = z, тогда CK = kx, KM = ky и MB = kz.
2) По теореме Менелая для ΔBPC: \(\frac{BO}{PA} \cdot \frac{CM}{BM} = 1\).
3) По теореме Менелая для ΔBEC: \(\frac{ET}{BK} \cdot \frac{CA}{EA} = 1\).
4) В ΔBPE: \(\frac{BO}{PO} \cdot \frac{PC}{EC} \cdot \frac{ET}{BT} = \frac{BM \cdot CA}{PC \cdot CK \cdot EA} = \frac{(kz + ky) \cdot kx \cdot (x + y)}{(kx + ky) \cdot x \cdot z \cdot (kz + ky)} = 1\).
Следовательно, точки O, C и T лежат на одной прямой.

Полное пошаговое решение:

Дано: ΔABC, P, E ∈ AC; M, K ∈ BC; AP:PE:EC = CK:KM:MB; AM ⊥ BP = 0; AK ∩ BE = T.

Необходимо доказать, что точки O, T и C лежат на одной прямой.

Доказательство:

1) Пусть AP = x, PE = y, EC = z. Тогда согласно условию задачи, CK = kx, KM = ky и MB = kz, где k — некоторый коэффициент.

2) Так как точки O, A и M лежат на одной прямой (по условию), то по теореме Менелая для ΔBPC имеем:
\(\frac{BO}{PA} \cdot \frac{CM}{BM} = 1\)

3) Аналогично, так как точки T, K и A лежат на одной прямой (по условию), то по теореме Менелая для ΔBEC имеем:
\(\frac{ET}{BK} \cdot \frac{CA}{EA} = 1\)

4) Рассмотрим ΔBPE. Применяя теорему Менелая, получаем:
\(\frac{BO}{PO} \cdot \frac{PC}{EC} \cdot \frac{ET}{BT} = \frac{BM \cdot CA}{PC \cdot CK \cdot EA}\)

Упрощая правую часть, имеем:
\(\frac{(kz + ky) \cdot kx \cdot (x + y)}{(kx + ky) \cdot x \cdot z \cdot (kz + ky)} = 1\)

Таким образом, точки O, C и T лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.