Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 861 Атанасян — Подробные Ответы
На стороне \(АС\) треугольника \(АВС\) отмечены точки \(Р\) и \(Е\), а на сто-роне \(ВС\) — точки \(М\) и \(К\), причём \(АР : PE : EC = CK : KM : MB\). Отрезки \(АМ\) и \(ВР\) пересекаются в точке \(О\), а отрезки \(АК\) и \(ВЕ\) — в точке \(Т\). Докажите, что точки \(О\), \(Т\) и \(С\) лежат на одной прямой.
1) Пусть AP = x, PE = y, EC = z, тогда CK = kx, KM = ky и MB = kz.
2) По теореме Менелая для ΔBPC: \(\frac{BO}{PA} \cdot \frac{CM}{BM} = 1\).
3) По теореме Менелая для ΔBEC: \(\frac{ET}{BK} \cdot \frac{CA}{EA} = 1\).
4) В ΔBPE: \(\frac{BO}{PO} \cdot \frac{PC}{EC} \cdot \frac{ET}{BT} = \frac{BM \cdot CA}{PC \cdot CK \cdot EA} = \frac{(kz + ky) \cdot kx \cdot (x + y)}{(kx + ky) \cdot x \cdot z \cdot (kz + ky)} = 1\).
Следовательно, точки O, C и T лежат на одной прямой.
Полное пошаговое решение:
Дано: ΔABC, P, E ∈ AC; M, K ∈ BC; AP:PE:EC = CK:KM:MB; AM ⊥ BP = 0; AK ∩ BE = T.
Необходимо доказать, что точки O, T и C лежат на одной прямой.
Доказательство:
1) Пусть AP = x, PE = y, EC = z. Тогда согласно условию задачи, CK = kx, KM = ky и MB = kz, где k — некоторый коэффициент.
2) Так как точки O, A и M лежат на одной прямой (по условию), то по теореме Менелая для ΔBPC имеем:
\(\frac{BO}{PA} \cdot \frac{CM}{BM} = 1\)
3) Аналогично, так как точки T, K и A лежат на одной прямой (по условию), то по теореме Менелая для ΔBEC имеем:
\(\frac{ET}{BK} \cdot \frac{CA}{EA} = 1\)
4) Рассмотрим ΔBPE. Применяя теорему Менелая, получаем:
\(\frac{BO}{PO} \cdot \frac{PC}{EC} \cdot \frac{ET}{BT} = \frac{BM \cdot CA}{PC \cdot CK \cdot EA}\)
Упрощая правую часть, имеем:
\(\frac{(kz + ky) \cdot kx \cdot (x + y)}{(kx + ky) \cdot x \cdot z \cdot (kz + ky)} = 1\)
Таким образом, точки O, C и T лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.