ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 860 Атанасян — Подробные Ответы

Окружность пересекает сторону \(ВС\) треугольника \(АВС\) в точках \(А_1\) и \(А_2\), сторону \(АС\) — в точках \(В_1\) и \(В_2\), сторону \(АВ\) — в точках \(С_1\) и \(С_2\). Докажите, что отрезки \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки \(АА_2\), \(ВВ_2\) и \(СС_2\) пере-секаются в одной точке.

Решение:

Согласно теореме о двух секущих из одной точки, отношения отрезков секущих равны:
\(
\frac{AC_1}{AB_2} = \frac{AC_2}{AB_1}
\)
\(
\frac{BA_1}{BC_2} = \frac{BA_2}{BC_1}
\)
\(
\frac{CA_1}{CB_2} = \frac{CA_2}{CB_1}
\)
Следовательно, по теореме Чевы, если \(AA_1, BB_1, CC_1\) пересекаются в одной точке, то и \(AA_2, BB_2, CC_2\) пересекаются в одной точке.

Решение:

Дано условие задачи: окружность пересекает треугольник ΔABC в точках A1, A2, B1, B2, C1, C2. Требуется доказать, что если прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то и прямые AA2, BB2, CC2 также пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1) Применим теорему о двух секущих из одной точки. Согласно этой теореме, отношения отрезков секущих равны:
\(
\frac{AC_1}{AB_2} = \frac{AC_2}{AB_1}
\)
\(
\frac{BA_1}{BC_2} = \frac{BA_2}{BC_1}
\)
\(
\frac{CA_1}{CB_2} = \frac{CA_2}{CB_1}
\)

2) Теперь применим теорему Чевы. Если прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы:
\(
\frac{AC_1}{AB_1} \cdot \frac{BA_1}{BC_1} \cdot \frac{CB_1}{CA_1} = 1
\)

3) Подставляя выражения из пункта 1, получаем:
\(
\frac{AC_1}{AB_2} \cdot \frac{BA_1}{BC_2} \cdot \frac{CB_1}{CA_2} = 1
\)

4) Таким образом, если прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то и прямые AA2, BB2, CC2 также пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.