Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 860 Атанасян — Подробные Ответы
Окружность пересекает сторону \(ВС\) треугольника \(АВС\) в точках \(А_1\) и \(А_2\), сторону \(АС\) — в точках \(В_1\) и \(В_2\), сторону \(АВ\) — в точках \(С_1\) и \(С_2\). Докажите, что отрезки \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки \(АА_2\), \(ВВ_2\) и \(СС_2\) пере-секаются в одной точке.
Решение:
Согласно теореме о двух секущих из одной точки, отношения отрезков секущих равны:
\(
\frac{AC_1}{AB_2} = \frac{AC_2}{AB_1}
\)
\(
\frac{BA_1}{BC_2} = \frac{BA_2}{BC_1}
\)
\(
\frac{CA_1}{CB_2} = \frac{CA_2}{CB_1}
\)
Следовательно, по теореме Чевы, если \(AA_1, BB_1, CC_1\) пересекаются в одной точке, то и \(AA_2, BB_2, CC_2\) пересекаются в одной точке.
Решение:
Дано условие задачи: окружность пересекает треугольник ΔABC в точках A1, A2, B1, B2, C1, C2. Требуется доказать, что если прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то и прямые AA2, BB2, CC2 также пересекаются в одной точке.
Доказательство:
1) Применим теорему о двух секущих из одной точки. Согласно этой теореме, отношения отрезков секущих равны:
\(
\frac{AC_1}{AB_2} = \frac{AC_2}{AB_1}
\)
\(
\frac{BA_1}{BC_2} = \frac{BA_2}{BC_1}
\)
\(
\frac{CA_1}{CB_2} = \frac{CA_2}{CB_1}
\)
2) Теперь применим теорему Чевы. Если прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы:
\(
\frac{AC_1}{AB_1} \cdot \frac{BA_1}{BC_1} \cdot \frac{CB_1}{CA_1} = 1
\)
3) Подставляя выражения из пункта 1, получаем:
\(
\frac{AC_1}{AB_2} \cdot \frac{BA_1}{BC_2} \cdot \frac{CB_1}{CA_2} = 1
\)
4) Таким образом, если прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то и прямые AA2, BB2, CC2 также пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.